§1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 学习目标 1.理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线． 知识点一 用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定．此时，称为点P的位置向量． 知识点二 直线的方向向量 定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定． (4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合． 知识点三 空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2?〈v1，v2〉＝?v1·v2＝0. 知识点四 异面直线与空间向量 1．异面直线的判定 如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线间的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 1．直线l的方向向量是唯一的．( × ) 2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ ) 3．不相交的直线就是异面直线．( × ) 4．任意两条异面直线的公垂线段都只有一个．( √ ) 一、直线的方向向量 例1 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( ) A. B. C. D. 答案 ABD 解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量． (2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 答案 A 解析 由题意，可得直线l的一个方向向量＝(2,4,6)， 又＝(1,2,3)，所以向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量． 反思感悟 对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 跟踪训练1 已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝_____，z＝_____. 答案 － 解析 ∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)， ∴＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)， ∴λ＝－，－2－y＝λ，z－3＝3λ，解得y＝－，z＝. 二、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 例2 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 答案 B 解析 ∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0， ∴a⊥b， ∴l1⊥l2. (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
