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课件网) 浙教版 九上数学 3.5.1圆周角 导入新课 O B1 B3 B2 P Q 如图, 已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点, 30° 30° 30° 你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大? 在图中, ∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？ O B1 B3 B2 P Q 即∠PB1Q、 ∠PB2Q、 ∠PB3Q 你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗? . O B C A ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征： 练习 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 不是 不是 是 不是 不是 图１ 图２ 图３ 图４ 图５ 探究一 O B C A 1．请在⊙O中画出所对的圆心角和圆周角，你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角? AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个. A A 观察思考 观察所画的圆周角，它们与圆心O有几种不同的位置关系？ O在∠BAC内 O在∠BAC边上 O在∠BAC外 探究二 猜想：∠BAC＝∠BOC 命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？当点A在BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想? 并证明 发现：∠BAC的度数保持不变，等于其对应圆心角的一半 即：∠BOC＝2∠BAC ⌒ 证明猜想 圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时, ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ●O A B C ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即 ∠ABC=∠AOC. 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时, ●O 即 ∠ABC =∠AOC. A B C D ∠ABD =∠AOD,∠CBD =∠COD, ∴ ∠ABD + ∠CBD = （∠AOD+ ∠COD）, 如果圆心不在圆周角的一边上, 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时, 过点B作直径BD.由1可得: ∴∠ABC =∠AOC. D ∠ABD =∠AOD,∠CBD =∠COD, A B C ●O 如图,在⊙O中,∠C,∠D,∠E的大小有什么关系? ●O C A B D E 同弧所对的圆周角相等！ ∠C =∠D=∠E 探究三 问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任意一点，你能确定∠BAC的度数吗? B A O C 图1 ∠BAC＝90? 问题探究 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90?，弦BC经过圆心O吗？为什么？ ●O B C A 图2 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 用于判断某个圆周角是否是直角 用于判断某条弦是否是直径 90°的圆周角所对的弦是直径． 归纳 例题解析 例1、如图 ，等腰三角形ABC 的顶角∠BAC 为 50°，以 腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数. ⌒ ⌒ ⌒ 解： 连结BE，AD ∵ AB是圆的直径 ∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角) ∵∠BAC=50° ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40° 又∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC=∠C= ∠BAD=∠CAD=BAC=50°=25° ⌒ 由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50° ⌒ ⌒ DE2∠CAD=2×25°=50°,AE=2∠ABE=2×40°=80° 变式 如图，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？ 解：AD和BC的位置关系是AD∥BC. 理由如下： ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90° ∴∠D＝∠C＝45° ∵AC⊥BD于点E ∴∠BEC＝90° 又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45° ∴∠D＝∠EBC ∴ AD∥BC 1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝45°，则∠BOC的大小为( ) A．90° B．60° C．45° D．22.5° 2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若AC＝8，AB＝10，OD⊥BC于点D，则BD的长为( ) A. B.3 C.5 D.6 课堂练习 A B 3.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D.∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为 ． 4．已知△ABC的边BC＝4 ... ...
