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课件网) 1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. 2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一 椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|. 常数 2a > 知识点二 椭圆的标准方程 ? 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _____ _____ 图形 ? ? 焦点坐标 _____ _____ a，b，c的关系 _____ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 答案 能.椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大； 椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 1.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( ) 2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( ) 3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( ) 4.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( ) × × × √ 2 题型探究 PART TWO 一、求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 解 因为椭圆的焦点在y轴上， 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 解 因为椭圆的焦点在y轴上， 由椭圆的定义知， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 解 方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时， 由a>b>0，知不合题意，故舍去； 方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 反思感悟 确定椭圆标准方程的方法 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解. 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 解 方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上， 则a2
b>0矛盾，舍去. 方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B). 所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ① 二、椭圆的定义及其应用 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ① 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 延伸探究 若将本例中“ ∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 从而|F1F2|＝2c＝6. 在△PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 反思感悟 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解. 解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知|AB|＝|F1A|＋|F1B|， 所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20， 又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8. 8 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α， ①2－②得mn(1＋cos α)＝6， ④ 即∠F1PF2＝60°. 三、与椭圆有关的轨迹问题 解析 设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y， (2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程. 解 设动圆P和定圆B内切于点M， 动圆圆 ... ... 