通用版本 高二数学 等差数列知识点

等差数列知识点 一、定义 数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示. 即：若(，d为常数)数列为等差数列. 等差中项 如果成等差数列，那么b叫做与c的等差中项，即. （1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即 （2）如果为等差数列，则，均为的等差中项 （3）如果为等差数列，则 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如，则不一定成立 ② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一” 【注】两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，三个数成等差数列的充要条件是. 三、通项公式 1、等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（） 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， ∴， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）. （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， ∴. (3)迭代法： ∴. 2、等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则：（从第m项开始为等差） 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况. 三、等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 （1）若，且,则， 特别地，①当时，. ②若，则． （2）下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为. （3）若数列也为等差数列，则，，，（k,b为非零常数）也是等差数列. （4）若，则． （5）若三个数成等差数列，可设为；若四个数成等差数列，可设为. （6）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 四、等差数列的前项和公式 公式一： 【证明】： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 公式变形： （1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可； （2）由通项公式代入可得公式二： 要点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一. ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，通过解方程组便可求出其余2个，即知3求2. 五、等差数列的前n项和的有关性质 （1）若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列. （2）连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为. （3）若项数为2n，则，，， （4）若项数为2n-1，则，，，， （5）若是等差数列，且前项和分别为，则，.（会推导） （6），此性质对任何一种数列都适用. （7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N ，且m≠n，p≠q），则. 六、等差数列中的函数关系 1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数) 等差数列中，，令,则：（,是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. （2）当时，是的一次函数；图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列. （3）（d,b是常数）是数列成等差数列的充要条件. 2、等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则：（,为常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点. （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点. （3）(其中A,B为常数)是数列成等差数列的充 ... ...