第39讲 圆与方程-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第39讲 圆与方程 1、 考情分析 1、掌握确定圆的几何要素； 2、掌握圆的标准方程与一般方程. 2、 知识梳理 1.圆的定义和圆的方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外； (2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上； (3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内. [微点提醒] 1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3、 经典例题 考点一　圆的方程 【例1】 (1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_____. (2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为_____. 【答案】(1)x2＋y2－2x＝0　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2 【解析】　(1)法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得D＝－2，E＝0，F＝0， 故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二　设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. (2)法一　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径r＝＝|a|. 又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝， ∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1， ∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝， ∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.① 由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.② 又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③ 联立①②③，解得 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法三　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝， ∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，① 又∵圆C与直线x－y＝0相切， ∴＝， 即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)， ∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.② 又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝， 由已知得d2＋＝r2， ∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③ 联立①②③，解得 故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二　与圆有关的最值问题　 角度1　斜率型、截距型、距离型最值问题 【例2－1】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 【解析】　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1). 所以的最大值为，最小值为－. ... ...