中小学教育资源及组卷应用平台 第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、 考情分析 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2、 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ. 方法位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 [微点提醒] 1.关注一个直角三角形 当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形. 2.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 3、 经典例题 考点一 直线与圆的位置关系 【例1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－)∪(，＋∞) C.(－∞，－)∪(，＋∞) D.(－，) 【答案】 (1)B (2)B 【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交. (2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2， 即kx－y－2＝0. 由d＝＝1，得k＝±. ∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为(－，2)，(，2). 故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是 (－∞，－)∪(，＋∞). 规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 圆的切线、弦长问题 多维探究 角度1 圆的弦长问题 【例2－1】 直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝_____. 【答案】2 【解析】 由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2. 角度2 圆的切线问题 【例2－2】 过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( ) A.y＝－ B.y＝－ C.y＝－ D.y＝－ 【答案】B 【解析】 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 角度3 与弦长有关的最值和范围问题 【例2－3】 直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8] C.[，3] D.[2，3] 【答案】 A 【解析】 圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0， ... ...
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