第1节 数列的概念与简单表示法 考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 知 识 梳 理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒] 1.数列的最大(小)项，可以用(n≥2，n∈N )求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N ，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(老教材必修5P33T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于( ) A. B. C. D. 解析 a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 答案 D 3.(老教材必修5P33T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝_____. … 解析 由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4. 答案 5n－4 4.(2020·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式an等于( ) A. B.cos C.cos π D.cos π 解析 令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D 5.(2019·郑州一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝_____. 解析 由题意，得a4＝S4－S3＝32. 即－＝32，解得a1＝. 答案 6.(2020·成都诊断)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N )，则此数列最大项的值是_____. 解析 an＝－n2＋11n＝－＋， ∵n∈N ，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30. 答案 30 考点一 由an与Sn的关系求通项 【例1】 (1)(2019·广州质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝_____. (2)(2020·西安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－1，则数列{an}的通项公式为_____. 解析 (1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)由a1＝1，Sn＝an＋1－1可得a1＝a2－1＝1，解得a2＝6，当n≥2时，Sn－1＝an－1，又Sn＝an＋1－1，两式相减可得an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，即an＋1＝4an(n≥2)，则an＝6·4n－2，又a1＝1不符合上式， 所以an＝ 答案 (1)4n－5 (2)an＝ 规律方法 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1 ... ...
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