题型分类学案：解三角形（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 题型分类：解三角形 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定：的三个内角、、所对应的三边分别为、、. 1．边的关系： (1) 两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； (2) 勾股定理：中，. 2．角的关系： 　中，,= （1）互补关系： （2）互余关系： 3．直角三角形中的边与角之间的关系 中，（如图），有： ， . 要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： 　　（为的外接圆半径） 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一. （2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状： ①勾股定理是余弦定理的特殊情况，. ②在中，，所以为锐角； 若，，同理可得角、为锐角. 当，，都成立时，为锐角三角形． ③在中，若， 所以为钝角，则是钝角三角形． 同理：若，则是钝角三角形且为钝角； 若，则是钝角三角形且为钝角． 要点三、解斜三角形的类型 1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解. 2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知和角时，解的情况如下： (1)若A为锐角时： 如图： (2)若A为直角或钝角时： 3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解. 4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解. 要点四、三角形面积公式 1．（表示边上的高）； 2．； 3．； 4．； 要点五、实际问题中的常用角 1. 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示： 2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°. 如图，点的方位角是。 3. 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者_??????_，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。 【典型考法1：角度变化】 例1.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　 　)． A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　C 解析　∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B. 【变式1】△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是_____． 答案　等边三角形 解析　∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， ∴＝＝，∴sin＝sin＝sin， 又∵A＋B＋C＝π，∴＋＋＝. ∴＝＝，∴A＝B＝C＝. 【变式2】在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，则＋的值是_____． 解析　由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C. 化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋切化弦， 得·＝· ＝·＝. 根据正、余定理得＝ ＝＝＝4. 【变式3】在△ABC中，若则△ABC的形状是_____. 答案：直角三角形； 【典型考法2：正余弦定理混用】 例2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝ (1)求＋的值； (2)设·＝，求a＋c的值 解　(1)由cos B＝，得sin B＝ ＝. 由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C. 于是＋＝＋ ＝＝ ＝＝＝. (2)由·＝得ca·cos B＝，由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4 ... ...