相似三角形 内容分析 相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合． 知识结构 1844675805721 模块一：相似三角形的判定 知识精讲 1、相似三角形的定义 A D E B C 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图， DE 是?ABC 的中位线，那么在?ADE 与?ABC 中， ?A ? ?A ， ?ADE ? ?B ， ?AED ? ?C ； AD ? DE ? AE ? 1 ． AB BC AC 2 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似． 用符号来表示，记作?ADE ∽ ?ABC ，其中点 A 与点 A 、 点 D 与点 B 、点 E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽ ”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“ ? ”后相应的位置上． 1 / 32 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与 ?ABC 的两边 AB 、AC 所在直线分别交于点 D 和点 E ，则 A E D E B C A D E B C ?ABC ． ?ADE ∽ A D B C 3、相似三角形判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在?ABC 与?A1B1C1 中，如果?A ? ?A1 、?B ? ?B1 ，那么?ABC ∽ ?A1B1C1 ． A B C A1 B1 C1 常见模型如下： 4、相似三角形判定定理 2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 1 如图，在?ABC 与?A B C 中， ?A ? ?A ， AB ? AC ，那么?ABC ∽ ?A B C ． 1 1 1 A1B1 A1C1 1 1 1 A B C A1 B1 C1 5、相似三角形判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在?ABC 与?A B C 中，如果 AB ? BC ? CA ，那么?ABC ∽ ?A B C ． 1 1 1 A1B1 B1C1 C1 A1 1 1 1 A B C A1 B1 C1 6、直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 1 如图，在 Rt?ABC 和 Rt?A B C 中，如果?C ? ?C ? 90? ， AB ? BC ，那么?ABC ∽ ?A1B1C1 ． 1 1 1 A A1B1 B1C1 A1 B C B1 C1 3 / 32 例题解析 【例 1】如图，已知点 P 是?ABC 中边 AC 上一点，联结 BP，要使?ABP ∽ ?ACB ，那么应添加的一个条件为 ，或 ，或 ． A P C B 【难度】★ 【答案】?C ? ?ABP ， ?ABC ? ?APB ， AB ? AP ． AC AB 【解析】根据相似三角形的判定定理 1 和判定定理 2，题目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可． 【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理 2 一定是夹等角的两条边对应成比例． 【例 2】下列命题正确的是（ ） A．有一个角是 40°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是 106°的两个等腰三角形相似 C．面积相等的两个直角三角形相似 D．两边之比为 3 : 5 的两个直角三角 ... ...
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