数的整除之四大方法综合应用 一、整除的定义： 当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为零时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a， 二、数的整除性质： ⑴对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。 记作：a|b，b|a，则a＝b。 ⑵传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 记作：若a|b，b|c，则a|c。 ⑶若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。 记作：若a|b，a|c，则a|(b－c)。 ⑷若a|b，m≠0，则am|bm。 ⑸若am|bm，m≠0，则a|b。 三、整除特征 ⑴1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。 0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0。 ⑵看末位 若一个整数的末位能被2和5，则这个数能被2和5整除。 若一个整数的末尾两位数能被4和25整除，则这个数能被4和25整除。 若一个整数的未尾三位数能被8和125整除，则这个数能被8和125整除。 ⑶看数字和 若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 ⑷看奇数位与偶数位的差 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 ⑸后三位截断法 若一个数的末尾三位与前面其余数位的差分别是7、11或13整除，则这个数能被7、11、13整除 例1 求满足下面各小题条件的a： ⑴5|false ⑵9|false 例2 求满足下面各小题条件的整数a： ⑴8|false ⑵9|false ⑶11|false 例3 62□是一个三位数，在□中依次填入一个数字，使所组成的三位数，能被6整除，这个数是_____。 例3拓 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛)731□是一个四位数，在□中依次填入三个数字，使所组成的三个四位数，依次能被9、11、6整除，这三个数之和是_____。 例4 (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)有一个五位数可同时被9和11整除。若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？ 例4拓 在( )内填上合适的数字，使六位19( )88( )能被35整除。 例5 (第七届《小数报》数学竞赛初赛)用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有_____个。 例6 (第七届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题)如果十位数1995xy5991能被99整除，其中x，y是未知数，求x和y。 测试题 1．(1992 年小学数学奥林匹克初赛)如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是_____ 。 2．若false能被11整除，求满足条件的整数a。 3．173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数。依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 4．如果六位数1992□□ 能被95整除，那么，它的最后两位数是_____ 。 5．将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是_____ 。 6．(浙江省数学竞赛)在724的左边添加一个数码a，右边添加一个数码b，组成一个五位数。如果这个五位数是12的倍数，求a ×b的最大值。 答案 1．答案：199300÷105 ＝1898……10，所以199300－10＝199290能被105整除，所以最后两位数是90。 2．答案：根据11的倍数的特征，奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则有10－3a是11的倍数，3a－6＝0或3a－6＝1，可见a＝2 3．答案：设这个四位数为173a，当这个数被9整除时，9(1＋7＋3＋a)，所以a＝7；当这个数被11整除时，11(7＋a－ ... ...
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