因数与倍数 一、约数(因数)和倍数 ⑴整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除。 ⑵如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(因数)。 例如：12÷3＝4，12能被3整除，12是3的倍数，3是12的约数。 ⑶最大公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 例如：12和18的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和18的最大公约数是6，记作(12，18)＝6 ⑷最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公约数。 例如：12和18的公倍数有36、72、108、144、180、……，其中最小的是36，所以12和18的最小公倍数是36。记作[12，18]＝36 二、关于最大公约数 1．求最大公约数的方法。 ⑴分解质因数法； 例如求9和12的最大公约数。 9＝ 3×3 12＝2×2×3 所以，(9，12)＝3 例如求12和18的最大公约数。 12＝2×2×3 18＝2×3×3 所以，(12，18)＝2×3＝6 ⑵短除法： 例如：求12和18的最大公约数。 false 所以(12，18)＝2×3＝6 例如：求231和252的最大公约数。 false 所以(231，252)＝3×7＝21 2．最大公约数的性质 ⑴两个自然数分别除以他们的最大公约数，所得的商互质。 ⑵几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 ⑶两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。 即：(12，18)×[12，18]＝12×18 (a，b)×[a，b]＝a×b 三、关于最小公倍数 1．求最小公倍数的方法。 ⑴分解质因数法； 例如：求9和12的最小公倍数。 9＝3×3 12＝2×2×3所以，[9，12]＝2×2×3×3＝36 例如：求12和18的最小公倍数。 12＝2×2×3 18＝2×3×3所以，[12，18]＝2×2×3×3＝36 ⑵短除法： 例如：求12和18的最小公倍数。 所以，[12，18]＝2×3×2×3＝36 例如：求231和252的最小公倍数。 所以，[231，252]＝3×71×1×12＝2772 2．最小公倍数的性质： ⑴两个自然数的任意公倍数都是它们的最小公倍数的倍数。 ⑵两个互质数的最小公倍数是这两个数的乘积。 如，[3，7]＝3×7 ⑶两个自然数如果具有倍数关系，则较小数就是这两个数的最大公约数，较大数是这两个数的最小公倍数。例如，(5，20)＝5；[5，20]＝20。 ⑷两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。 即：(12，9)×[12，9]＝12×8 (a，b)×[a，b]＝a×b 四、求最大公约数和最小公倍数 求24和36的最大公约数和最小公倍数。 (24，36)＝2×2×3＝12 [24，36]＝2×2×3×2×3＝72 例1 ⑴36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数4？ ⑵36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数3？ ⑶36、42、52、72这四个数中，哪些数含有约数12？ 例2 求112和182的最大公约数？(用三种不同的方法) 例3 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛) 边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有_____种。 例3拓 边长为自然数，面积为210的形状不同的长方形共有_____种。 例4 现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？ 例5 求36与76的最小公倍数(用两种不同的方法)。 例6 一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？ 测试题 1．请用短除法求256与112的最大公约数。 2．请用短除法求30与48的最小公倍数。 3．边长为自然数，面积为91的形状不同的长方形共有_____种。 4．一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形，而纸无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？ 5．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段 ... ...
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