7.5.1 三角形内角和定理 课件（共16张PPT）

数学北师大版 八年级上 7.5 三角形内角和定理（一） 三角形的内角和定理：三角形的内角和是180° 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° A B C 证明：延长BC到D, 则 ∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等） ∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等） ∵ ∠1+ ∠2+ ∠ACB=180°（平角的定义） ∴ ∠A+∠B+∠C=180° 过点C作射线CE∥BA, 1 ?2 ? A B C 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 另种证法 证明:过C作AB的平行线EF,即EF∥AB,则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠BCF= ∠B(两直线平行,内错角相等) 又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换) E F 证明:过点C作CE∥AB,则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠B+∠BCE=180°(两直线平行,同旁内角互补) 即∠B+∠BCA+∠ACE=180° ∴ ∠B+∠BCA+∠A=180° (等量代换) A B C E 说明：为了证明三个角的和为180°，把问题转化 为互补的两个角求解; 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证法三 (1) A B C P Q R T S N (3) A B C P Q R M T S N (2) A B C P Q R M 更多证法 A B C ∠A+∠B+∠C=180° ∠A=180°-∠B-∠C=180°-（∠B+∠C） ∠A+∠B=180°-∠C 三角形的内角和是180°可以写成下列各式 任意一个角等于180°减去另外二个角，或 减去另外二个角的和， 任意二个角的和等于180°减去另外一个角 例;如图，在△ABC中，∠B=38°， ∠C=62°AD是△ABC的角平分线， 求∠ADB的度数。 解： 在△ABC中， ∠B+ ∠C+ ∠BAC=180°(三角形内角和定理) ∵ ∠B=38°,∠C=62°（已知） ∴ ∠BAC=180°- 38°-62°= 80°（等式的性质） ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ ∠BAD= ∠CAD = （角平分线的定义） ∠B+ ∠BAD+ ∠ADB=180°(三角形内角和定理) ∵ ∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证) ∴ ∠ADB= 180°- 38°-40°= 102° 练习：如图，在△ABC中，∠A=60°， ∠C=70°D,E分 别是AB,AC上 的点，且DE∥BC，求∠ADE的度数。 解： 在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180° ∵ ∠A=60°,∠C=70° ∴ ∠B=180°- 60°-70°= 50° ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B= 50° 解: ∴ ∠ABC+∠ACB=180°－∠A(等式的性质) 又∵BE、CF分别平分∠ABC 和∠ACB(已知) ∴ ∠BOC=180° －(∠1+∠2)=180° －(90°－ ɑ) =90°＋ ɑ ∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800 (三角形的内角和定理) ∴ ∠ABC+∠ACB=180°－ɑ (等量代换) ∴ ∠1= ∠ABC ，∠2= ∠ACB(角平分线的定义) ∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×(180°－ɑ )=90°－ ɑ 又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的内角和定理) A B C E F O 1 2 例：如图，已知△ABC中，∠A=α ,∠ABC 和∠ACB的平分线BE、CF交于点O.求∠BOC 练习：如图，已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC 和∠ACB的平分线BE、CF交于点O.求∠BOC 解: ∴ ∠ABC+∠ACB=180°－∠A(等式的性质) 又∵BE、CF分别平分∠ABC 和∠ACB(已知) ∴ ∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－65°=115°(等式的性质) ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° (三角形的内角和定理) ∴ ∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°(等量代换) ∴ ∠1= ∠ABC ∠2= ∠ACB(角平分线的定义) ∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×130°=65°(等式的性质) 又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的内角和定理) A B C E F O 1 2 课后作业 习题7.6 1，2.3，4 1.如图，已知∠B= 35° ,∠C=60°, AD⊥BC,AE平分∠BAC,求∠EAD的度数. 解：在△ABC中， ∠BAC= 180°-B-∠C= 85°， ∵AD⊥ BC ∴∠ADE= 90° ∵AE平分∠BAC, 选做题： 2.如图，在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠DAC= 26° ,∠CBE=22°.求∠BAC的度数. 3.在△ABC中,∠B= 90°,AD平分∠CAE,CD平分∠ACF,AD、CD相交于点D.求∠D的度数 . 证明:在△ABC中， ∵∠B= 90° ∴∠BAC+∠B ... ...