第一讲 定义新运算 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 【解析】?A*B的结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 由A*B＝（A＋3B）×（A＋B），可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12＝312。 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝ 6△1＝（6＋1）÷1＝ 7。 规定 1※2＝0.1＋0.2＝0.3；2※3＝0.2＋0.3＋0.4＝0.9；5※4＝0.5＋0.6＋0.7＋0.8＝2.6 。 如果a※15＝16.5，那么a的值是多少？ 【解析】等式的两边同时扩大10倍，则a＋a＋1＋a＋2＋……＋a＋14＝165。解得a＝4。 如果1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋3333； 计算：（5※3）×5。 【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5＝（5＋55＋555）×5＝3075。 对于任意的自然数X和Y，定义新运算@：，其中m是一个确定的自然数。如果1@2＝1，则2@8的值是多少？ 【解析】，12＝m＋4， m＝8；即：； ；故答案为：3。 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“θ”为：aθb＝a×（a＋1）×（a＋2）×……×（a＋b－1）。如果（xθ3）θ3＝15600，求x的值。 【解析】记xθ3＝y，则yθ3＝y（y＋1）（y＋2）＝15600＝24×25×26，因此y＝24。所以xθ3＝x（x＋1）（x＋2）＝24＝2×3×4，从而x＝2。 有一种运算“*”，满足以下条件： （1）2*3＝5；（2）a*b＝b*a；（3）a*（b＋c）＝a*b＋a*c。（这里的“＋”是通常的加号） 请计算：8*9。 【解析】8*9＝8*（3＋6）＝8*3＋8*6＝8*3＋8*（3＋3）＝8*3＋8*3＋8*3＝3×（8*3）。 而8*3＝3*8＝3*（4＋4）＝2×（3*4）＝2×[3*（2＋2）]＝2×2×（3*2）＝2×2×5＝20， 因此8*9＝3×20＝60。 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 【解析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。 计算：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 如果2□3＝2＋3＋4＝9，6□5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。已知x□3＝5973，求x。 【解析】x＋x＋1＋x＋2＝5973，解得x＝1990。 聪明的小男孩 从前，一个国王经常给身边的大臣出难题来取乐，如果大臣答对了，他将用小恩小惠给点赏赐；如果答不出来，那将受罚，甚至被砍头。 一天，国王指着宫里的一个池塘问：“谁能说出池子里有多少桶水，我就赏他珠宝。如果说不出来，我就要‘赏’你们每人50大鞭。”大臣们被这突如其来的问题难住了。 正在大臣们心慌意乱之际，走过来一个放牛的小男孩。他问清了事情的缘由之后说：“我愿意见见这位国王。” 大臣们把小男孩带到了国王身边。国王见眼前的小男孩又黑又瘦又小，便怀疑说：“这个问题答上来有奖，答不上来可要被砍头的，你知道吗?”在场的人都替这个小男孩捏了一把汗，可小男孩却不慌不忙地回答出国王的问题。国王无奈之下，拿出珠宝奖励给了小男孩。小朋友们，你知道他是怎样回答的吗? 其实，国王出的是一道条件不足的问题。在正常的思维模式下是无法找出正确答案的。小男孩正好抓住这一关键。他是这样回答的：“这要看桶有多大：如果桶和池塘一样大，就 ... ...
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