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课件网) 中考数学 （广东专用） §4.3 等腰三角形与直角三角形 考点一 等腰三角形 A组 2016—2020年广东中考题组 1.(2020深圳,8,3分)如图,在△ABC中,AB=AC.在AB、AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ,再分别以点P,Q为 圆心,以大于?PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,作9射线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长 为( ) ? A.2 ????B.3 ????C.4 ????D.5 答案????B 由作图过程可知∠BAD=∠CAD.又因为AB=AC,所以BD=CD,所以BD=?BC=?×6=3,故选B. 2.(2019深圳,8,3分)如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B两点为圆心,大于?AB的长为半径画圆弧,两弧相 交于点M,N,连接MN与AC相交于点D,则△BDC的周长为( ) ? A.8 ????B.10 ????C.11 ????D.13 答案????A 由题可知,MN垂直平分AB,∴BD=AD,∴C△BDC=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC,又∵AC=AB =5,BC=3,∴C△BDC=3+5=8,故选A. 思路分析 由题得MN是AB的垂直平分线,根据垂直平分线的性质得C△BDC=BC+CA,即可求出△BDC的 周长. 3.(2016广州,7,3分)如图,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接 CD,则CD=?( ) ? A.3 ????B.4 ????C.4.8 ????D.5 答案????D ∵AB=10,AC=8,BC=6, ∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°. ∵DE是AC的垂直平分线,∴∠AED=90°,点E是AC的中点,AD=DC,又∵∠ACB=90°,∴ED∥BC, ∴ED是△ABC的中位线,D为AB的中点, ∴AD=?AB=5,∴CD=AD=5. 4.(2020广东,20,6分)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相 交于点F.求证:△ABC是等腰三角形. ? 证明 ∵BD=CE,∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠EFC, ∴△DFB≌△EFC.?(3分) ∴FB=FC. ∴∠FBC=∠FCB. ∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD, 即∠ABC=∠ACB. ∴△ABC是等腰三角形.?(6分) 解题关键 解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定. 思路分析 首先证明△DFB≌△EFC,得到FB=FC,进而证得∠FBC=∠FCB,推理得到∠ABC=∠ACB,根 据等腰三角形的判定得证. 5.(2018广东,19,6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求∠DBF的度数. ? 解析 (1)如图所示,直线EF即为所求. ? (2)∵BD是菱形ABCD的对角线, ∴∠ABD=∠CBD=75°,∴∠A=30°. 由(1)知EF是线段AB的垂直平分线, ∴∠FBA=∠A=30°, ∴∠DBF=∠DBA-∠FBA=75°-30°=45°. 解后反思 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图,菱形的性质,等腰三角形的性质及三角形内角和定 理的综合运用. 6.(2018广州,23,12分)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, ①证明:AE⊥DE; ②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值. ? 解析 (1)如图所示. ? (2)①证明:如图,分别延长DE、AB相交于点F. ? ∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°,∴AB∥CD,∴∠CDE=∠F.∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE, ∴∠ADE=∠F,∴AD=AF=AB+BF. 又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD,∴BF=CD. 在△CED和△BEF中,? ∴△CED≌△BEF,∴DE=EF.又AD=AF,∴AE⊥DE. 可得AD=AF,DE=EF,∴AE平分∠DAB, ∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值. 在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=?=?=4?. ∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN', ∴△DAH∽△BAN'.∴?=?,∴?=?, ∴BN'=?,∴BM+MN的最小值为?. ②如图,作DH⊥AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连接MN',BM,则MN=MN',∴BM+MN=BM+MN'.由① 思路分析 (1)利用基本作图“作已知角的平分线”,按照题目的作图要求作图; ... ...
