高考题型中导数的解题总结

高考题型中导数的解题总结 河南省上蔡县第一高级中学 田鲜丽 邮编：463800 从近年来全国各地的高考文（理）科数学真题来看，导数的应用在高考试卷中体现很普及，并且很多是压轴题，分值较高。如：09年全国Ⅱ理22. （本小题满分12分）设函数有两个极值点。（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论的单调性；（Ⅱ）证明：。 为方便高三复习，下面我们参考高考真题及典型例题对导数的解题应用总结了以下七点。 1、利用导数判定函数的单调性 例1（09年全国I文21）. 已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性； 解：（Ⅰ） 当和时，； 当和时，； 所以，在区间和是减函数； 在区间和是增函数； 这种类型的题目，是利用导数f’(x)的符号判定的。即定理：设函数在上连续，在内可导。1）如果在内，那么函数在上单调增加；2）如果在内，那么函数在上单调减少。所以遇到此类问题就可直接对函数进行求导，算出时x的取值范围既是f(x)为增函数的区间；时x的取值范围既是为减函数的区间。 2、求曲线上某点的切线方程 例2（09年全国I文21）. 已知函数.（Ⅱ）设点P在曲线上，若该曲线在点P处的切线通过坐标原点，求的方程 分析： 该题目是利用导数的几何意义即：函数在点x0处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。因此曲线在点处的切线方程为：;根据题意，我们直接利用上述的切线方程即可。 解：（Ⅱ）设点P的坐标为,由过原点知的方程为： 因此,即 整理得，所以得：或， 所以切线的方程为：。 3、利用导数证明不等式 例3：证明不等式：当. 分析：从表面看利用我们原来解不等式的传统经验公式法是显然不行的，我们把上面不等式转换为函数的单调性就容易多了。要想利用函数单调性，我们就必须构建个函数证明此函数在区间内单调增加。即当证明即可。 证明：取函数，则 在区间内，所以在区间内单调增加， 则有：即 所以，当 证毕。 4、求函数的极（最）值 例4（09年湖南理19）.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 分析：此类属于实践应用类。对于应用导数解决实践问题，关键是建立恰当的数学模型。求函数的极值,我们首先想到转化不等式，利用转化的思想构造一个函数，结合函数的思想方法求函数的极（最）值。 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数； 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 5、利用导数求解不等式 例5函数解不等式 解：由题意知：因为 1）当时，恒成立，所以在R上单调减少，又所以时即时的解集为 2）当时，若则或 当时解得： 当时解得： 所以，在区间内单调递减；在区间和内单调递增。 又时，解得或且时 所以时的解集为 综上所述：时的解集为时的解集为 点析：此类题目一般不直接出现，我们学会此类目的是用导数来解不等式,加深学生对导数和函数知识的理解,培养学生分析问题和解决问题的能力。 6、利用导数解决不等式恒成立问题 例6(2006年全国卷Ⅱ)设函数若对所有,都有成立,求实数a的取值范围。 解：取函数于是不等式成立即为成立. 对求导数得令解得 当时，为增函数； 当时，为减函数； 要对所有都有充要条件为解得, 即实数a的取值范围为。 点析：不等式恒成立问题也是高考中一类常见的题型.处理这类问题,大多采用函数的观点来审视,用函数的性质来解决.导数就是研究函数性质的有力工具,所 ... ...