6.3 球的表面积和体积 [教材要点] 要点一 球的截面 1．球的截面形状 (1)球面被经过_____的平面截得的圆称为球的大圆． (2)球面被不经过_____的平面截得的圆称为球的小圆． 2．球的截面性质 (1)球心和截面圆心的连线_____于截面． (2)球心到截面的距离d，球的半径R及截面的半径r之间满足关系式_____． (1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径，一般作出球的一个大圆来处理问题． (2)大圆半径等于球的半径R，大圆面积S＝πR2，是球的表面积的. (3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径． 要点二 球的切线 当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点的所有切线长都_____． 要点三 球的体积和表面积公式 V球＝_____，S球面＝_____. 两个结论 (1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用一个平面去截球所得截面都是圆．( ) (2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等．( ) (3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等．( ) (4)球面展开一定是平面的圆面．( ) 2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是( ) A．3:2 B．2:3 C．1:2 D．1:1 3．用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225π cm2，则球心到截面的距离为_____cm. 题型一 球的表面积和体积———自主完成 1．球的体积是，则此球的表面积是( ) A．12π B．16π C. D. 2．一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为( ) A. B. C. D. 3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的( ) A．2倍 B．2倍 C.倍 D．3倍 方法归纳 计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝πR3中系数的特征及半径的立方． 题型二 球的表面积和体积的应用———师生共研 例1 一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决． 方法归纳 (1)画出截面图是解答本题的关键． (2)球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算． 跟踪训练1 圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？ 题型三 球的切、接问题———微点探究 微点1 球与正方体、长方体的切、接问题 例2 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A. B. C. D. (2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_____． 方法归纳 若一个长方体从同一顶点起的三条棱长度分别为a，b，c，则该长方体的体对角线就是其外接球的直径，即2R＝. 微点2 球与四面体的切、接问题 例3 已知三棱锥P ? ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P ? ABC的内切球的表面积为_____． 方法归纳 对于正四面体，有以下结论： (1)正四面体的外接球与内切球的球心重合； (2)棱长为a的正四面体的高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a. 微点3 球与圆锥(圆柱) ... ...
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