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课件网) 5.1 向量的数量积 (1)若e是单位向量,则a·e=e·a 交换律:a·b (2)若a,b是非零向量, 0 结合律:(Ⅻ)·b (3)a·a a (cosa, b) (a|b≠0) 分配律:(a+b)·c (5)a·b≤ab|,当且仅当 时等号成立§5 从力的做功到向量的数量积 最新课标 (1)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． (2)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． (3)能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． (4)能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件. 5.1 向量的数量积 [教材要点] 要点 向量的数量积 关于向量数量积应注意的问题 (1)若向量与的夹角为θ，θ＝0时，与同向；θ＝π时，与反向；θ＝时，⊥. (2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平移． (3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cosθ的符号所决定，而向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量． (4)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( ) (2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0?a·b>0.( ) (3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( ) (5)若a，b，c为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.( ) (6)若两个非零向量a，b满足a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.( ) 2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝( ) A. B. C．1 D．－ 3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( ) A. B. C. D．4 4．若|a|＝6，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是_____. 题型一 向量数量积的计算及其几何意义———自主完成 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 2．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝_____. 3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为_____，b在a方向上的投影为_____． 方法归纳 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 题型二 求向量的模———师生共研 例1 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( ) A. B．2 C．4 D．12 (2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A. B. C. D. 先由||＝|＋|寻找||与||的关系．(3)设非零向量a与b的夹角是，且|a|＝|a＋b|，则的最小值是_____． 方法归纳 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练1 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则|4a－b|＝( ) A．2 B．6 C．2 D．12 (2)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝_____； (3)已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t，|ta－b|的最小值是_____． 题型三 向量的夹角与垂直问题———微点探究 微点1 求向量的夹角 例2 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角θ. 先求||、||及·. 变式探究 将本例中的条件改为“|a|＝1，a·b＝，(a－b)(a＋b)＝”，求a与b的夹角． 方法归纳 求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos θ＝求cos θ；第二步，根 ... ...
