6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例 最新课标 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用. [教材要点] 要点一 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝_____(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝_____. 要点二 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( ) (2)若∥，则直线AB与CD平行．( ) (3)物理学中的功是一个向量．( ) (4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．( ) 2．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(5,0) B．(－5,0) C. D．－ 4．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝_____. 题型一 平面几何中的向量方法———师生共研 例1 (1)已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( ) A．梯形 B．邻边不相等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 (2)已知点O，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，·＝·＝·，则点O，P依次是△ABC的( ) A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 方法归纳 用向量方法解决平面几何问题的步骤 跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 作出图形，取AB的中点E，连接OE.(2)若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型二 平面向量在物理中的应用———师生共研 例3 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分)．(参考数值：tan 67°53′≈2.4616) 方法归纳 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 跟踪训练2 一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)． 6．2 平面向量在几何、物理中的应用举例 新知初探·课前预习 [教材要点] 要点一 (3) (4)[基础自测] 1．(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．解析：由＝知BC綊AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 由·＝0知，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形． 答案：C 3．解析：F1＋F2＝＋＝(1,1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)． |F1＋F2|＝＝. 答案：C 4．解析：∵＝(＋)＝(－1,2)， ∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3. 答案：3 题型探究·课堂解透 题型一 例1 解析：(1)∵＝(－4,3)，＝(－4,3)，＝(8,0)， ∴＝，可得AB、DC平行且相等． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵||＝5，||＝8， ∴||≠|| ∴四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形． (2)∵||＝||＝||， ∴O到三角形三个顶点的距离相等， ∴O是三角形的外心． ∵·＝·＝· ∴·(－)＝0，·(－)＝0， ∴⊥，⊥， ∴P是△ABC的垂心． 答案：(1)B (2)C 例2 解析：方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. ... ...
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