平行四边形的存在性 考虑已知边为一边长或对角线，结合点的平移、三角形全等、中点坐标公式等方法求解点坐标。 类型一：已知三点 【经典例题1】如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)Q是平而直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)将A(?1，0)，B(5，0)代入y=?x2+bx+c，得： ，解得：，∴抛物线的解析式为y=?x2+4x+5. (2)由(2)可知，点P的坐标为(，). 以P、Q、C. D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况(如图所示): ①以PD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴点Q的坐标为(+4?0，+0?3)，即(，)； ②以PC为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴点Q的坐标为(+0?4，3?0)，即(?，)； ③以CD为对角线，∵点P的坐标为(，)，点D的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)， ∴点Q的坐标为(0+4?，3+0?)，即(，?). 综上所述：在(2)的情况下，存在以P、Q、C. D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(，)、(?，)或(，?). 练习1-1如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0）， B（0，2），抛物线的图象过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 练习1-2如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：ED是⊙P的切线； (3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线 y=ax2+bx+c 上吗？ 请说明理由； （4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二：已知两点 【经典例题2：垂直于x轴】平行四边形的判定：一组对边平行且相等 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.直线经过点A、C. (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交直线AC于点M，设点P的横坐标为t.若以点C、O、M、P为顶点的四边形是平行四边形，求的值. ②当射线MP，AC，MO中一条射线平分另外两条射线的夹角时，直接写出t的值。 【解析】(1)在y=x+3中，令x=0，y=3;令y=0，x=?4，得A(?4，0)，C(0，3)， 代入抛物线y=?x2+bx+c解析式得：， ∴抛物线的解析式y=?x2?x+3； (2)设P(t，?t2?t+3)， ∵四边形OCMP为平行四边形， ∴PM=OC=3，PM∥OC， ∴M点的坐标可表示为(t，t+3)， ∴PM=?t2?3t，∴|?t2?3t|=3， 当?t2?3t=3，解得t=?2， 当?t2?3t=?3，解得t1=?2+2，t2=?2?2， 综上所述，满足条件的t的值为?2或?2+2或?2?2. (3)如图1，若AC平分MP、MO的夹角，过点C作CH⊥OA，CG⊥MP， 则CG=CH， ∵S△MCO=OM?CH=OC?CG， ∴OM=OC=3， ∵点M在直线AC上， ∴M(t，t+3)， ∴MN2+ON2=OM2，可得，t2+(t+3)2=9， 解得t=?， 如图2，若MO平分AC、MP的夹角，则可得∠NMO=∠OMC，过点O作OK⊥AC， ∴OK=ON， ∵∠AKO=∠AOC=90°，∠OAK=OAC， ∴△AOK∽△ACO， ∴AO/AC=OK/OC，∴4/5=OK/3， ∴OK=， 由角平分线的性质可得：点O到AC和MP的距离相等， ∴t=， 综合以上可得t的值为?，. 练习2-1如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB ... ...
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