中小学教育资源及组卷应用平台 专题5.3 平面向量的数量积 一、考情分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 二、经验分享 考点一 向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤≤180° 或θ＝?a∥b，θ＝90°?a⊥b 考点二 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 考点三 向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 数乘结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 考点四 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 考点五 必备结论 1．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立)． 三、题型分析 重难点题型突破1 平面向量数量积的运算 例1、(2020·西安调研)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则·＝( ) A. B．3 C．2 D．12 【答案】D 【解析】解法一：如图 过点D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB，交AB于点N，则MN＝DC＝2.在Rt△ADM中，AD＝2，AM＝＝＝1，所以∠DAM＝60°.因为＝＋＝＋，＝＋＋＝＋＋＝＋＋(＋＋)＝＋，所以·＝·＝2＋·＋2＝×22＋2×4×cos60°＋×42＝12.故选D. 解法二：如图 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)． 设D(m，n)(n>0)，则C(m＋2，n)，因此BC边的中点E.则＝(m＋2，n)，＝.又由BC＝DA＝2，得所以m＝1，n2＝3.则·＝(m＋2)·＋＝＋＝12.故选D. 【变式训练1-1】、(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝( ) A．11 B．10 C．－10 D．－11 【答案】D 【解析】：. 以A为坐标原点，建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，E(1，4)，F(5，1)，所以＝(5，1)，＝(－3，4)，则·＝－15＋4＝－11.故选D. 【变式训练1-2】、(2020·黑龙江大庆实验中学高考模拟)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为( ) A. B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】建立如图所示的坐标系 可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，∴＝(，0)，＝(x,2)， ∴·＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)， ∴＝(，1)，＝(1－，2)， 重难点题型突破2平面向量数量积的性质 例2、已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝_____. 【答案】 【解析】因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋32＋2×2×3×cos＝4＋9－6＝7.所以|c|＝. 【变式训练2-1】、已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( ) A. B． C. D． 【答案】B. 【解析 ... ...
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