第三章 圆 第21课时 圆的对称性 北师大版 九年级下册 温故知新 1.什么叫做中心对称图形？ 2.旋转有哪些特征？ 3.圆是中心对称图形吗？ 阅读感知 阅读课本 70～71 页的内容，完成下面的填空： 1.圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，对称中心为_____． 2.圆心角、弦心距 顶点在_____的角叫做圆心角，圆心到_____的距离叫做弦心距． 3.圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦_____． 4.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_____． 阅读感知 合作探究 如图 1 所示，在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′，滚动一个圆，使 O 和 O′重合， 固定圆心，将其中的一个圆旋转一定角度，使得 OA 与 O′A′重合． 合作探究 发现现象：（1）OA 与_____重合，OB 与_____重合；（2）弧 AB 与_____重合，（3）AB 与_____重合． 结论：∠AOB＝_____，AB＝ _____， ＝_____． 归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 思考：（1）在上面的“归纳”中，为什么不能去掉“同圆或等圆”这个前提． 合作探究 （2）在“同圆或等圆”这个前提下，将定理中的题设或结论的任何一项交换都是正确的.于是我们将定理中的三个元素分离为：①圆心角，②弧，③弦． 由①→②、③：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 由③→①、②：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弧 _____． 由 ②→① 、 ③：_____． 典例精讲 类型之一 弧、弦、圆心角之间的关系 【例 1】如图所示，在⊙O 中， ，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 解析：∵ ， ∴AB＝AC（相等的弧所对的弦相等）， ∴△ABC为等腰三角形，∵∠ACB＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝CA， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC（相等的弦所对的圆心角相等）． 典例精讲 【例 2】如图所示，已知 AB，CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且 AP∥CD，∠A＝70°，那么 与 相等吗？说明你的理由．如果∠A＝α，该结论成立吗？ 解析：相等，理由如下：连接OP， ∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝70°， ∵AP∥CD， ∴∠BOD＝∠OAP＝70°，∠POD＝∠APO＝70°， ∴∠POD＝∠BOD，∴ ＝ ． 典例精讲 当∠A＝α时，该结论仍然成立，证明过程同上． 典例精讲 类型之二 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明 【例 3】如图所示，已知 AB 是⊙O 的直径，M，N 分别是 AO，BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证： ． 解析：连接OC，OD， ∵AB是⊙O的直径， M，N分别是AO，BO的中点， ∴OM＝ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°， 典例精讲 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)， ∴∠COM＝∠DON， 课堂操练 1.下列图形中的角是圆心角的是（ ） 2.同圆中的两条弦长为 ，圆心到两条弦的距离分别为 ，且 ，那么 的大小关系是（ ） A B 课堂操练 3.如图，已知 BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上， ，∠ABO＝60°，则∠DCO 的度数是_____ 30° 课堂操练 4.如图所示，在⊙O 中，点 C 是 的中点，∠A＝50°，则∠BOC 等于 _____°． 40 课堂操练 5.如图所示，在△AOB 中，AO＝AB，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于 D，交 AO 于点 E，AD＝BO．试说明 ，并求∠A 的度数． 解析：设∠A＝x，∵AD＝OB，∴DO＝DA， ∴∠DOA＝x，∴∠BDO＝2x，∴∠B＝2x， 又∵AO＝AB，∴∠BOE＝∠B＝2x， ∴∠BOD＝2x－x＝x＝∠DOE，∴ 在△OBD中，x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠A＝36°． 中考在线 (牡丹江)如图所示，在⊙O 中， ，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，求证 AD＝BE． 解析：连接OC， ∵ ... ...
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