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课件网) 5.3.3 利用导数解决与函数有关的问题 类型一 函数的图象问题 【典例】给定函数f =ex-x. (1)判断函数f 的单调性,并求出f 的值域; (2)画出函数f 的大致图象; (3)求出方程f =m 在区间[-1,2]的解的个数. 关键能力·素养形成 【思维·引】(1)求导数、求极值后确定最值,得到值域; (2)利用函数的单调性,增长趋势作图; (3)利用图象的交点个数判断解的个数. 【解析】(1)函数的定义域为R. f′ =ex-1,令f′ =0,解得x=0. f′ ,f 的变化情况如表所示: x 0 f′ - 0 + f 单调递减 1 单调递增 所以,f 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.当x=0时,f 的 极小值f =1. 也是最小值,故函数f 的值域为 (2)由(1)可知,函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f = +1,f =e2-2,f =1, 当x→+∞时,f →+∞,f′ →+∞; 当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数f 图象上的点逐渐趋 向于直线y=-x.根据上述信息,画出函数f 的大致图象如图所示. (3)截取函数f 在区间[-1,2]上的图象如图所示. 由图象得:当f
e2-2时,方程f =m在区间 上无实根. 【内化·悟】 作函数的图象时需要关注哪些方面? 提示:定义域、单调性、极值、最值以及图象的变化趋势等. 【类题·通】 作函数f 图象的步骤 (1)求出函数的定义域; (2)求导数f′ 及函数f′ 的零点; (3)用f′ 的零点将f 的定义域划分为若干个区间,列表给出f′ 在各个 区间上的正负,并得出f 的单调性与极值; (4)确定f 的图象所经过的一些特殊点,以及图象的变化趋势; (5)画出f 的大致图象. 【习练·破】 函数f(x)=(x2+tx)ex(实数t为常数,且t<0)的图象大致是 ( ) 【解析】选B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函数f(x)有两个零点,排除A,C, 函数的导数f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex, 当x→-∞时,f′(x)>0,即在x轴最左侧,函数f(x)为增函数,排除D. 类型二 实际生活中的最值问题 【典例】(2020·泰州高二检测)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价 为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x); (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最 大值. 【思维·引】(1)利润=每件商品的利润×销售量;(2)利用导数求最值. 【解析】(1)该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)= (x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9]. (2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x) =(10-x)(18+2a-3x), 令L′(x)=0,得x =6+ a或x=10(舍去). 因为1≤a≤3,所以 ≤6+ a≤8. 所以L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a. 当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润L最大,最大值为(16-4a)万 元. 【类题·通】 解决实际优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域; (2)一般地,通过函数的极值来求函数的最值.如果函数在给定区间上只有一个极值点,则根据所求即可判断该值是最大值还是最小值. 【习练·破】 (2020·焦作高二检测)欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖),为能使所 用的材料最省,它的底面半径应为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选C.设圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为y, 则由题意有πr2h=V,所以h= . 蓄水罐的表面积y=πr2+2πrh=πr2+2πr =πr2+ (r>0). 令y′=2πr- = =0,得r= . 检验得,当r= ... ... 