中小学教育资源及组卷应用平台 第48讲 两个基本计数原理 考情分析 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 知识梳理 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. [微点提醒] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. 1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. 2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 经典例题 考点一 分类加法计数原理的应用 【例1】 (1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有_____种不同的方法. (2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_____. 解析 (1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法. (2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4； 若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3； 若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案 (1)12 (2)13 规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类. 考点二 分步乘法计数原理的应用 【例2】 (1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_____. (2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_____.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_____种. 解析 (1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100. (2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性. 答案 (1)100 (2)45 54 规律方法 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 考点三 两个计数原理的综合应用 【例3】 (1)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重 ... ...
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