中小学教育资源及组卷应用平台 第55讲 随机变量的数字特征 考情分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题. 知识梳理 1.离散型随机变量的数学期望与方差 设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn. (1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平. (2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). [微点提醒] 1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2). 2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X). 3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝. 经典例题 考点一 离散型随机变量的均值与方差 【例1】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为p1＝×＝， 两人都付40元的概率为p2＝×＝， 两人都付80元的概率为 p3＝×＝×＝， 则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝. (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)＝×＝. ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用. 考点二 二项分布的均值与方差 【例2】 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列. (1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数； (2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值. 解 (1)∵前四组频数成等差数列， ∴所对应的也成等差数列， 设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0 ... ...
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