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课件网) §3 空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1 空间图形基本位置关系的认识 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实1、2、3) 必备知识·自主学习 1.空间点、直线、平面之间的位置关系及符号表示 (1)点与直线、点与平面的位置关系 ①点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.如图: 导思 1.点、线、面之间有哪些关系?如何用符号表示? 2.三个基本事实及推论的内容是什么?各有什么作用? 点B在直线b上,但在直线a外,记作:B∈b,B?a. ②点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.如上图: 点B在平面α内,点A1在平面α外,记作:B∈α,A1?α. (2)直线与直线、直线与平面的位置关系 ①直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交.如图: 直线a和直线l相交,记作:a∩l=B1;直线b和直线l不相交,记作:b∩l=?. ②直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行.如上图: 直线a在平面β内,即直线上的每个点都在平面内,记作:a?β;直线l与平面α相交,记作:l∩α=A1;直线a与平面α无公共点,称直线a与平面α平行,记作:a∥α. a∥α?a∩α=?. 在画直线和平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行,如图: (3)平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交.如图: 平面α与平面β不相交. 如图: 平面α与平面β相交. 若两个平面α与β不相交,则称这两个平面平行,记作α∥β. α∥β?α∩β=?. 在画两个平行的平面时,通常把表示这两个平面的平行四边形的对应边画成互相平行的.如图: 【思考】 如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系呢? 提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示. (2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示. (3)直线与平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“?”或“?”表示. 2.与平面有关的3个基本事实 (1)基本事实1:过不在一条直线上的_____,有且只有一个平面.如图: 三个点 【思考】 基本事实1有什么意义及作用呢? 提示:意义:是在空间确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化是立体几何中解决部分问题的主要的思想方法. 作用:①确定平面;②证明点、线共面. (2)基本事实2:如果一条直线上的_____在一个平面内,那么这条直线在这个 平面内. 两个点 【思考】 基本事实2有什么意义及作用呢? 提示:意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”. 作用:既是判断直线是否在平面内,又是检验平面的方法. (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个_____,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线. 这样,基本事实3就可以用符号表示为 P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l. 公共点 【思考】 基本事实3有什么意义及作用呢? 提示:意义:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方法. 作用:①判断两个平面是否相交; ②确定两个平面的交线; ③证明若干点共线问题. 3.平面性质的三个基本事实的三个推论 推论1:一条直线和该直线外一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)三角形一定是平面图形. ( ) (2)直线l与平面α有且只有两个公共点. ( ) (3)若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合. ( ) (4)四条边都 ... ...
