人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业三1.1.3（Word含解析）

课时提升作业 三 三个正数的算术-几何平均不等式 基础过关 一、选择题(每小题6分,共18分) 1.函数y=x2·(1-5x)的最大值为　(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】选A.因为0≤x≤, 所以1-5x≥0, 所以y=x2·(1-5x)=≤ =. 当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”. 2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为　(　　) A.9 B.12 C.6-2 D.6+4 【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c) =4++++++≥4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立. 所以++的最小值是6+4. 3.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为　(　　) A.-1 B.+1 C.2+2 D.2-2 【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2 即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c>0 所以(a+b)(a+c)≤= 所以2a+b+c≥2-2. 二、填空题(每小题6分,共12分) 4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为_____. 【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1, 所以++=(a+2b+3c)·≥3·3=9,当且仅当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小值为9. 答案:9 5.已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为_____. 【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6, 所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z ≥6·, 所以x2y3z≤1. 答案:1 三、解答题(每小题10分,共30分) 6.若a,b,c>0, 求证:a2+b2+c2+≥6. 【证明】因为a,b,c>0, 所以a2+b2+c2≥3·　① 又++≥3·, 所以≥9·　② a2+b2+c2+ ≥3·+9· ≥2·=6,当且仅当a=b=c时等号成立. 7.设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值. 【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1, 所以+=+=1++≥1+2=7, 当且仅当=, 即x+y=,y+z=时,取等号. 所以+的最小值为7. 8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值. 【解析】由平均不等式,得4a+4b+≥ 3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立). 因为a+b+c=1, 所以a+b=1-c, 则a+b+c2=c2-c+1=+, 当c=时,a+b+c2取得最小值. 从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3. 能力提升 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.若logxy=-2,则x+y的最小值是　(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为logxy=-2, 所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2, 所以x+y=++≥3=, 当且仅当=,即x=时等号成立. 2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是　(　　) 【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h, 则l=4r+2h,即2r+h=, V=πr2h≤π=π. 当且仅当r=h=时等号成立. 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.已知00, 则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成立.故x2(1-2x)的最大值为. 答案: 【拓展延伸】用平均不等式求最值 (1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果. (2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力. (3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件. (4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值. 4.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为_____. 【解析】2x+=(x-a)+(x-a)++2a 因为x-a>0, 所以2x+≥3+2a=3+2a. 当且仅当x-a=,即x=a+1时,取等号. 所以2x+的最小值为3+2a, 由题意可得3+2a≥7,解得a≥2. 答案:2 三、解答题(每小题10分,共20分) 5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9. 【证明】++=++ =3++++++, 因为a,b,c同号,且a+b+c=1, 所以a>0,b>0,c>0, 所以,,,,,均大于0, 又a,b,c互不相等, 所以3++++++ >3+6=9. 所以++>9. 【补偿训练】设a,b,c为正实数,求证:+++abc ... ...