人教B版（2019）高中数学 选择性必修第三册 6.2.2　导数与函数的极值、最值课件+学案含练习

(课件网) 第二课时　导数与函数的最值 课标要求 素养要求 1.能利用导数求函数的极大值，极小值及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 能利用导数求函数的最值，发展学生的直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养. 新识探究 由函数的图像，来分析判断函数的最值情况.如图为定义在[a，b]上的函数f(x)的图像. 问题　函数f(x)在[a，b]上的极值和最值分别在什么位置取到？ 提示　图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3). 1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 (1)假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，函数的最值必在_____或_____处取得. (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 ①求f(x)在开区间(a，b)内所有使_____的点； ②计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和_____的函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值点 区间端点 f′(x)＝0 端点 2.最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得. 拓展深化 [微判断] 1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( ) 2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.( ) 提示　也可能在极值点处取到. 3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( ) 提示　有极值的函数不一定有最值，如图所示，导函 数f(x)有极值，但没有最值. 4.函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.( ) √ × × √ 解析　y′＝x3＋x2＋x，令y′＝0得x＝0， 又x∈[－1，0)时，y′<0，x∈(0，1]时，y′>0， ∴函数在[－1，0)上单调递减，(0，1]上单调递增， ∴f(x)min＝f(x)极小值＝f(0)＝0. 答案　A 答案　B 3.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为_____. 解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71. 答案　－71 [微思考] 1.若函数的最大值与最小值所构成的集合为A，则A中的元素个数可能是多少？ 提示　可能为0，1，2. 2.在开区间内的连续函数f(x)在此开区间上只有一个极值点，那么这个极值是最值点吗？ 提示　是. 解　(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∴f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12； 当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2. 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 规律方法　求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 【训练1】　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数 ... ...