空间向量的 数量积运算 A O B a b a b a b 4．平面向量的夹角： 复习： 1） 空间两个向量的夹角的定义 思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？ 2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°] A B A' B' 3、射影 l 2）两个向量的数量积 注： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。 3)空间向量的数量积性质: 对于非零向量 ，有： （求角的依据） （证明垂直的依据） （求向量的长度的依据) 4)空间向量的数量积满足的运算律 下列命题成立吗? ①若 ,则 ②若 ,则 ③ 思考: 3、空间向量数量积的性质 4. 空间向量数量积运算律 ⑴ ⑵ ⑶ （数乘结合律） （分配律） （交换律） 注意： 数量积不满足结合律， 也不满足消去率 1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3， | b |＝4，则a·b ＝_____， a2＝_____， (a＋2b)·(a－b)＝_____. 题型一 利用数量积求夹角 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值． 【例1】 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值． 分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！ 题型二 利用数量积证明垂直关系 【例2】 证明： 如图,已知: 求证： 在直线l上取向量 ,只要证 为 分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. 解： 2.已知在平行六面体 , 求 对角线的长. 巩固练习： 空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质 空间向量数量积的运用 空间向量的夹角
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