福建省泉州市惠安县2020-2021学年高二“达利杯”学科素养竞赛数学试题 Word版含答案

惠安县2020-2021学年“达利杯”学科素养 高 二 年 数 学 试 题 （考试时间：120分钟；满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合false，集合false，则false（ ） A. false B. false C. false D. false 2．已知数列false中，false，false，则false（ ） A. false B. false C. false D. false 3. 斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列false定义如下：false，false（false，false），随着false的增大，false越来越逼近黄金分割false，故此数列也称黄金分割数列，而以false、false为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A. 20厘米 B. 19厘米 C. 18厘米 D. 17厘米 4．已知false，false，若false可以表示成false的形式，其中false是正整数，则false（ ） A.8 B.32 C.48 D.50 5．已知一个正三棱柱的底面边长为1，且两个侧面的异面对角线互相垂直，则它的侧棱长为（ ） A. false B. false C. false D. false 6．等腰直角三角形false中，斜边false，一个椭圆以false为其焦点，另一个焦点在线段false上，且椭圆经过false，false两点，则该椭圆（焦点在false轴上）的标准方程是( ) A．false B．false C．false D．false 7．已知点false、false在false内，且false，则false等于( ) A．false B．false C．false D．false 8．设false和false分别表示false的整数部分与小数部分，其中false，函数falsefalse的零点个数为( ) A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 9．已知复数false（false为虚数单位），则false_____． 10．用三种颜色给立方体的八个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染四个顶点．则任一条棱的两个端点都不同色的概率是_____． 11．方程false的满足false的所有正整数解为_____．（以false形式填写答案） 12．已知false，false，false是平面上的任意三点，且false，false，false，则表达式false的最小值是_____． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本题8分）设锐角三角形false的内角false对边分别为false且false， false外接圆半径为false． （1）求角false的大小； （2）求false周长的取值范围． 14．（本题8分）已知数列false中，false． （1）求false的通项公式； （2）数列false满足false，数列false的前false项和为false，若不等式false对一切false恒成立，求false的取值范围． 15．（本题9分）如图1，菱形false中，false，false，false于false．将false沿false翻折到false，使false，如图2． （1）求证：平面false平面false； （2）求直线false与平面false所成角的正弦值； （3）设false为线段false上一点，若false平面false，求false的值． 16．（本题9分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在false市与false市之间建一条直达公路，中间设有12个十字路口现规划在每个路口处种植一棵杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为false． （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： A市居民 B市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有false的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性？ （2）false表示所抽取的4个路口中种植杨树的路口个数，求false的分布列以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为false，求证：false． 附： false 0.100 0.050 0.010 0.001 false 2.706 3.84 ... ...