数 学 必修⑤ · 北师大版 新课标导学 第二章 解三角形 在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的，从本章我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？ 本章的主要内容包括正弦定理、余弦定理以及正弦定理和余弦定理的推导，解三角形及正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的应用． 知识线索：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的．正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三角形的重要工具．本章内容与三角形的结论相联系，同时与三角函数、向量相联系，也体现了三角函数、向量及其运算的应用．高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容. §1 正弦定理与余弦定理 第1课时 正弦定理 1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有． 正弦的比 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA﹕sinB﹕sinC A A C 1 2 互动探究学案 命题方向1 ?已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝10，求b. [分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b. 例题 1 『规律总结』 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． 〔跟踪练习1〕 在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长． 命题方向2 ?已知两边及一边对角解三角形 例题 2 『规律总结』 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． 利用正弦定理解三角形的类型 (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a，b和∠A时，解的情况如下： [分析] 已知两边及其一边对角的值，求其他边和角可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角． 命题方向3 ?求三角形的面积 例题 3 命题方向4 ?利用正弦定理判断三角形形状 在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状． 例题 4 命题方向5 ?正弦定理的综合应用 例题 5 『规律总结』 利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的 ... ...
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