中小学教育资源及组卷应用平台 第十八讲 计数问题 计数问题是小学数学的重要板块，设计内容十分广泛，如图形中的计数、数论中的计数、排列与组合中的计数、容斥原理中的计数、染色问题中的计数等等；方法也多种多样，常用的有枚举法、分类计数法和分布计数法、递推计数法、排列与组合法计数、规律计数法、集合思想计数法等等。关键是避免出现重复或者遗漏的情况。 例1: 1~200这200个整数中不含数字7的有多少个？ 巩固练习1 各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？ 如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个？ 取三个自然数，是它们的乘积为24，共有多少种不同的取法？（三个数可以是相同的数，也可以是不同的数） 例2:从2、3、5、7、11这5个数中，每次取出两个数，分别作分子和分母，共可以组成多少个数值不同的真分数？ 巩固练习2 把7支完全相同的钢笔分给甲、乙、丙三人，每人至少分一支，共有多少种不同的分发？ 有5元、10元、20元、50元纸币各一张，可以用它们组成多少种不同的币值？ 分子小于6，分母小于60的最简真分数有多少个？ 排列：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(Arrangement)。特别地，当m=n时，这个排列被称作全排列(Permutation)。 定义:从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm（或Pnm，或nPm）表示。 ?? 注：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。例如，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。 公式推导： 排列公式是建立一个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数 ?? 由阶乘的定义可知Anm=[n (n-1) (n-2)... (n-m+1)] [(n-m) (n-m-1)... 1]/[(n-m) (n-m-1)... 1] 上下合并可得Anm=n!/(n-m)! 由n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数一到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。我们规定0！=1 组合：一般地，从m个不同的元素中，任取n（n≤m）个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。 【数】一般地，从m个不同的元素中，任取n（n≤m）个元素为一组，叫作从m个不同元素中取出n个元素的一个组合。我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题。其所有不同组合的种数用符号 ??表示，??=m(m-1)（m-2）…(m-n +1)/n!=m!/(n!(m-n)!)。此外，规定C01一=1。 ? ? 例3：用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？ 巩固练习3—4 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？ 用1、2、3、4、5这五个数字，不需重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？ 用0到9十个数字组成没有重复的四位数；若将这些四位数从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？ 一种电子表在6时24分30秒时显示为6:24:30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？ 11.某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由是个非0数码组成，且四个数码和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？ 例5：由35个单位小正方形组成的长方形中，如图所示有两个“ ”，求同时包含两个“ ”在内的由小正方形组成的长方形（正方形）共有多少个？ 巩固练习5 在图中（单位:厘米） ①一共有多 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
