八上数学 小专题(十)　构造等腰三角形的常用方法 练习版+答案版+课件（共23张PPT）

中小学教育资源及组卷应用平台 八上数学 小专题(十)　构造等腰三角形的常用方法 练习版 类型1　利用平行线构造等腰三角形 　 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形.若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形. ②作腰的平行线构造等腰三角形.若AB＝AC，DE∥AC，则△BDE为等腰三角形. ③作底边的平行线构造等腰三角形.若AB＝AC，DE∥BC，则△ADE为等腰三角形. 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF. 证明：过点D作DM∥AC交BC于M. ∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∴∠B＝∠DMB.∴BD＝MD. ∵BD＝CE，∴MD＝CE. 在△DMF和△ECF中， ∴△DMF≌△ECF(AAS). ∴DF＝EF. 2.在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC. (1)当点E为AB中点时，如图1，AE＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)当点E为AB上任意一点时，如图2，AE＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)，并说明理由. 解：理由如下： 过点E作EF∥BC，交AC于点F，则∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠CEF＝∠ECD. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC. ∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∠DBE＝120°. ∴△AEF是等边三角形. ∴AE＝EF，∠EFC＝120°. ∴BE＝CF，∠DBE＝∠EFC. ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD. ∴∠D＝∠CEF. 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC(AAS). ∴DB＝EF. ∴AE＝DB. 类型2　角平分线＋垂线→等腰三角形 　 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，故可以延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形. 3.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D.求证：∠BAD＝∠CAD＋∠C. 证明：延长AD交BC于点F， ∵∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴△ABD≌△FBD(ASA). ∴∠BAD＝∠BFD. ∵∠BFD＝∠CAD＋∠C， ∴∠BAD＝∠CAD＋∠C. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE＝2CD. 证明：延长BA，CD相交于点Q. ∵∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°， ∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°. ∴∠ACQ＝∠ABE. 在△ABE和△ACQ中， ∴△ABE≌△ACQ(ASA).∴BE＝CQ. ∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD. ∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°. 在△QDB和△CDB中， ∴△QDB≌△CDB(ASA).∴CD＝DQ. ∴BE＝CQ＝2CD. 类型3　截长补短构造等腰三角形 5.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数.(用截长法与补短法两种方法解答) 解：方法1：(截长法)在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，则CE＝AB＝AE. ∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°.∴∠C＝20°. 方法2：(补短法)延长DB至点F，使BF＝AB，连接AF， 则AB＋BD＝DF＝CD. ∴AF＝AC，∠C＝∠F＝∠ABC. ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABC＋∠C＝∠ABC＋∠ABC＝60°. ∴∠ABC＝40°. ∴∠C＝20°. 类型4　运用倍角关系构造等腰三角形(选做) 　 已知在△ABC中，∠ACB＝∠ABC. ①如图1，作∠ABC的平分线BD，则可构造等腰△BDC； ②如图2，作∠BCE＝2∠ACB，交BA的延长线于点E，则可构造等腰△BCE； ③如图3，延长CB至点D，使BD＝AB，则可构造两个等腰三角形：△ABD，△ADC； ④如图4，作∠BCE＝∠ACB，交AB的延长线于点E，则可构造等腰△BCE. 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC. 证明：方法1：在边AC上截取AP＝AB，连接PD. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠PAD. 在△ABD和△APD中， ∴△ABD≌△APD(SAS). ∴∠APD＝∠B，PD＝BD. ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C. ∴PD＝PC.∴BD＝PC. ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC. 方法2：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，证△AE ... ...