培优点4 洛必达法则 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)f(x)＝g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则 ＝ ＝A(可连续使用)． 例 已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解 当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0； 当x>0时，由f(x)≥0得，a≤， 设g(x)＝，则g′(x)＝， 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)， 则h′(x)＝xex－ex＋1， 记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝，故a≤. 综上，实数a的取值范围是. 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，利用洛必达法则． 已知函数f(x)＝＋，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立，求k的取值范围． 解 由题意，当x>0且x≠1时，f(x)>＋恒成立等价于k<＋1－＝＋1， 记g(x)＝＋1， 则g′(x)＝ ＝； 又记h(x)＝ln x＋， 则h′(x)＝－＝>0， 所以，当x>0时，h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0， 因此，当x∈(0,1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0；即当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0； 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 由洛必达法则有 g(x)＝ ＋1＝ ＋1＝0， 即当x→1时，g(x)→0. 所以当x>0且x≠1时，g(x)>0， 所以k≤0. 故所求k的取值范围是(－∞，0]．(
课件网) 培优点1 函数性质间的相互联系 专题一 函数与导数 函数的对称性、奇偶性、周期性及单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，求解时要研究函数各性质间的相互联系，对性质进行综合、灵活地应用. √ 解析 依题意得，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且其图象关于y轴对称， 即f(c)>f(a)>f(b). (2)(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)为偶函数，且在区间[2,3]上单调递增，则 A.f(x)的周期为2 B.f(－1)是函数f(x)的最小值 C.函数f(x)的图象的一个对称中心为(4,0) D.f(x＋16)＝f(x－12) √ √ 解析 由f(x＋1)为偶函数，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称， 又f(x)为奇函数，∴－f(－x)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)的周期T＝4，故A错； f(x)在[2,3]上单调递增，且T＝4， ∴f(x)在[－2，－1]上单调递增， ∴f(－1)不是f(x)的最小值，故B错； 又f(x)关于(0,0)对称，且T＝4， ∴f(x)的图象关于(4,0)对称，故C正确； ∵T＝4，∴f(x＋16)＝f(x)，f(x－12)＝f(x)， ∴f(x＋16)＝f(x－12)，故D正确. (3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝_____. －8 解析 ∵f(x)是奇函数且f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)， 即f(x)＝f(4－x)且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， 即y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 并且此函数是周期为8的周期函数. ∵f(x)在[0,2]上是增函数， ∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上是减函数. 据此可画出y＝f(x)图象的草图(如图)(设x1
