2020年人教版八年级数学上册期末专题复习：以等腰三角形为桥梁的几何题例析

新人教版八年数学上册期末专题复习资料 以等腰三角形为桥梁的几何题例析 新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中以等腰三角形为桥梁的题所占比例较大，在期末统考试题中高频出现，也是中考的热点题型；等腰三角形含特殊等腰三角形等边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系” 和“三线合一”是桥梁作用的支撑. 题目一. 平分角添加“垂直”，“平行”元素构成等腰三角形的举例. 例1. 如图，⊿中，过点作出的平分线的垂线于点,交于点. ⑴.若，;求的度数； ⑵.若；求的长. 分析： 对于⑴问利用和，可 以得到： ；因为,结合， 可以求出. ⑵问结合⑴问可以得出 ,所以. 例2.已知⊿中，，于点，平分，交于点，于点.求证:． 分析： 由平分，，可以得出： ；根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以 得到, ,而 平分可以得到： ,所以 ,所以；综上可证：. 点评： 例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件，利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等，从而得到等腰三角形为桥梁解决问题. 例3.如图，在⊿中,,平分交 于点 ,于点;求证：. 解析： 过点作∥交的延长线于点 . ∴ ， ∵平分交于点 ∴ ∵ ∴ ，则 ∴ ，则 ∴,即 ∵, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴. 点评： 本题有3个等腰三角形，其中通过作平行线构建出的等腰⊿是关键的一环；当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合，往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题. 追踪练习： 1. 如图，在△，的平分线交于点,过点作∥,分 别交于点两点，已知,则△ 的周长为 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，⊿中，过点作出的平分线的垂线于点. 求证： 3.在四边形中，∥,平分,, ；求的长? 4.如图，∥ ，以点为圆心，以小于长为半径作圆弧，分别交于点，再分别以点圆心，以大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点,作射线,交于点. ⑴.若,则的度数为 ； ⑵.若,垂足为点.求证：△≌△. 5.如图，已知△是等腰直角三角形， ,平分,,垂足为点. ⑴.求证：; ⑵.如果 ,求的长. 题目二.遇“垂直+中点”型以及“T字”型结构连起的等腰三角形举例. 例1.如图，在四边形中，点 是边的中点，点是边的中点，且有 . ⑴.求证:； ⑵.若 ,求的度数. 解析： ⑴.连结. ∵点 是边的中点， ∴ （垂直平分线的性质） 同理 ∴ ⑵.∵ ，且有。 ∴ ∴ 即 ∵, ∴. 注：求 的度数的途径不止一种. 例2. 如图，已知是的中点, ,垂足为;若∥ ，判断是的角平分线吗？为什么？ 解析： 是的角平分线.理由如下： 延长交 的延长线于点. ∵ ∥,即∥ ∴, 又是的中点 ∴ ∴⊿≌⊿（ ） ∴ 又，即 ∴是的角平分线，即是的角平分线.（三线合一） 例3.如图，点 为线段的中点；点为线段下方 的一点，且有，. 求证： 解析：连接 在△和△中 ∴⊿≌⊿ （ ） ∴（全等三角形，对应边相等） 又点 为线段的中点 ∴（三线合一） 点评： 遇“垂直+平分”容易根据垂直平分线的性质连接连城等腰三角形解决问题，例1就是这种类型,；例3含“T字型”结构，往往连城等腰三角形，利用“三线合一”解决问题. 例2可以看作隐含有“垂直+平分”，连接成等腰三角形后，再利用“三线合一”解决问题. 追踪练习： 1.对于任意⊿（见示意图）.若 是⊿的边上的 中线， 、的角平分线分别交、于点， 连接， 那么 之间的数量关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 2.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点, ，垂足分别为，,，则的长为 . 3. 如图，点分别为AB,BC 的中点，且. 求证：. 4.如图，已知五边形中， ,点 为的中点，. 求证： 5.如图，已知在△中 ，的的平分线与 的垂直平分线交于点,于点， 的延长线于. 求证： 6.已知：⊿中，高与相交于点,且, 分别是上的点，且，为的中点. 求证： 题目三.由全等三角形变换的基础上的构建起来的等腰三角形举例. ... ...