7．2 任意角的三角函数 7．2.1 三角函数的定义 [课程目标] 1.理解并掌握任意角三角函数的定义． 2．理解三角函数是以实数为自变量的函数． 3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解． [填一填] 1．任意角的三角函数 以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°. 在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝. (1)称为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝，定义域为{α|α∈R}； (2)称为角α的余弦，记作cosα，即cosα＝，定义域为{α|α∈R}； (3)称为角α的正切，记作tanα，即tanα＝，定义域为. 这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数． 2．三角函数在各个象限的符号 [答一答] 1．如何理解三角函数的定义？ 提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示． 这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了． (2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.，，这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴＝，＝，…. 2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？ 提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负． 三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)． 类型一 求三角函数值 命题视角1：利用定义求三角函数值 [例1] 如图，∠AOP＝，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求： (1)点P的坐标； (2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值． [解] (1)设点P的坐标为(x，y)， 则x＝cos∠AOP＝cos＝， y＝sin∠AOP＝sin＝. 故点P的坐标为. (2)∵点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q的坐标为. 根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝，cos∠AOQ＝－. 利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标?u，v?，由三角函数的定义得sinα＝v，cosα＝u. [变式训练1] 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sinαcosβ＝( B ) A．－ B．－ C． D． 解析：sinαcosβ＝×＝－，故选B． 命题视角2：取点求三角函数值 [例2] 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ. [解] 由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cosθ＝＝. 又∵cosθ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 此时sinθ＝＝. 当x＝－1时，P(－1,3)， 此时sinθ＝＝. 综上所述，sinθ＝. 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标?a，b?，则对应角的三角函数值分别为sinα＝，cosα＝. [变式训练2] 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值． 解：由题意知，cosα≠0. 设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sinα＝＝＝－， ＝＝＝， ∴10sinα＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k<0 ... ...
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