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课件网) §1.2 充分条件与必要条件 旧知温习 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆否命题 若﹁ q则﹁p 互为逆否 同真同假 互为逆否 同真同假 互逆命题 真假无关 互逆命题 真假无关 互否命题真假无关 互否命题真假无关 符号 与 的介绍 如果命题为真，即如果p成立，那么q一定成立， 记作 ，读作 “ p推出 q ”． p q 如果命题为假，即如果p成立，那么q不成立， 记作 ，读作 “ p推不出 q ”． p q 现有命题“若p则q”， 新知准备 定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p ? q, 那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件． 【定义得出】 ①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。 ②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p” 为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。 注： ③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。 问题 ？ 1 ２ ３ ４ ５ ６ ７ x >0 x = √2 两三角形全等 a、b为奇数 ab >0 = a 2 b 2 c 2 + - 2x - 3 = 0 x 2 >0 x 2 = 2 x 2 两三角形面积相等 a + b为偶数 a >0且 b >0 以a、b、c 为三边 ,且c为最大边的三角形是RtΔ = -1 x p q p q q p 下面两栏中的p与q之间存在何种关系？ （1）哪些p q？ （2）哪些q p？ （3）哪些既能 又能 ？ 6 答案： （2）q p ： p q q （3）既能 p ： 又能 （1）p q ： 1 ２ ３ ４ ５ ６ ７ x >0 x = √2 两三角形全等 a、b为奇数 ab >0 = a 2 b 2 c 2 + - 2x - 3 = 0 x 2 >0 x 2 = 2 x 2 两三角形面积相等 a + b为偶数 a >0且 b >0 以a、b、c 为三边 ,且c为最大边的三角形是RtΔ = -1 x p q 1 2 3 4 （6） 7 5 （6） 观察 1、2 、3、4 充分条件的定义 必要条件的定义 一般地，“若p，则q”为真命题，即 ， p q 同时，称q是p成立的必要条件． 因为p成立就有充分的理由得出q成立． 所以q成立是p成立必不可少的条件． 非q 非p 此时 我们就说，p是q成立的充分条件． 观察 6 充要条件的定义 如果p成立时，q必然成立，即 ，而且q成立时，p也必然成立，即 ． 这时我们就说，p是q成立的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作 或 ． p q q p p q q p 当 ，而且 ． 这时我们就说，p是q的既不充分也不必要条件 ． q p p q 例1． 指出下列各组命题中，那些p是q的充分条件? 是 是 否 例2 下列”若p,则q”形式的命题中,那些命 题q是p的必要条件? 是 是 否 1．用符号“ ”与“ ”填空： (1) x = 0 xy = 0. (2) xy = 0 x = 0. (3) 两个角相等 两个角是对顶角. (4) 两个角是对顶角 两个角相等. 练一练 2．下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： (1) p：a ∈ Q ，q： a ∈ R ． (2) p：a ∈ R ，q： a ∈ Q ． (3) p：内错角相等，q：两直线平行． (4) p：两直线平行，q：内错角相等． Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件 Key : p 是q 的必要条件 q 是p 的充分条件 Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件 Key : p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件 p 是q 的充要条件 (1) p：(x - 2)(x - 3) = 0 ; q：x – 2 = 0． (2) p：同位角相等 ; q：两直线平行． (3) p： x = 3 ; q： ． (4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． x 2 = 9 例2． 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要 条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分 也不必要”中选出一种？ x – 2 = 0 (x – 2)(x - 3) = 0 ， (x – 2)(x - 3) = 0 x – 2 = 0． 所以p是q的必要而不充分条件． 同位角相等 两直线平行． 所以p是q的充要条件． ... ...
