立体几何中的向量方法 学习目标： 1、理解直线的方向向量和平面的法向量； 2、能用向量语言表达线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3、能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题； 4、会用向量法求两异面直线和点到平面之间的距离。 ? 一、空间两点间的距离公式 ? ? 二、方向向量与法向量 ? 注意：（1）直线的方向向量不唯一 （2）直线的方向向量必须是非零向量 ? ? 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_____ 平面OABC 的一个法向量坐标为_____ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_____ (-1,-1,1) (0,0,1) (1,0,0) ? ? 注意：法向量不唯一 ? 例2.在空间直角坐标系中,已知A(3，0,0), B(0，4，0),C(0，0，2),试求平面ABC的 一个法向量. ? ? 三、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的判断 ? ? 1、线面平行 2、线面垂直 ? 3、面面平行 ? 4、面面垂直 ? 四、利用向量求空间的角 1、异面直线所成角 ? ? ? 例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,A1D1的中点，求直线EF与BD1所成角的余弦值。 ? ? ? 2、直线与平面所成角 ? ? ? ? (2)试问：在棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45°？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由． ? ? ? ? 3、二面角 ? ? ? ? ? ? ? 因为二面角为锐二面角 五、空间的距离 1、两异面直线之间的距离 ? ? ? ? ? 解：如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直坐标系O-xyz. ? ? ? ? ? 取y=2,的x=5,z=1 ? ? ? 2、点到平面的距离 ? ? ? ? 解：如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直坐标系O-xyz. ? ? ? 取x=1,得y=1,z=1 ? ? 设点A到平面PQL的距离为d ? 三角 线线所成角，余弦不要绝对值； 线面所成角，正弦加上绝对值； 面面所成角，余弦加上绝对值， 若要去掉绝对值，符号看图来决定！ 两距离 线线之间的距离，公垂向量是关键；两线各取一个点，连线之后找投影；点面之间的距离，先来求出法向量，平面之内任取点，点点连线找投影！ 课堂小结：
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