(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = _____ w 元 (2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = ____ (3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ____ (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=_____ 是 的函数 ɑ? ɑ? V是ɑ的函数 t?? km/s v是t 的函数 我们先来看几个具体的问题: (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长 ____ ɑ是S的函数 以上问题中的函数具有什么共同特征? 思考: P w y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 是 的函数 S ɑ 幂函数 § 2.3 （2）幂函数的解析式必须是 的形式，其特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量，③ 的系数为1，④只有１项 一般地，函数 叫做幂函数(power function) ， 其中 为自变量， 为常数. [定义:] 说明: （1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值有关； 式子 名称 常数ɑ 自变量x 因变量y 指数函数: y= ɑx 幂函数: 底数 指数 指数 底数 幂值 幂值 幂函数与指数函数的对比 判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点 看自变量x是指数还是底数 幂函数 指数函数 问题: 你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 例1 判断下列函数是否为幂函数. × × √ √ 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2 练习 √ √ √ × × × 对于幂函数，我们只讨论 时的情形 在同一平面直角坐标系内作出 五个幂函数的图象. (1,1) (2,4) (-2,4) (-1,1) (-1,-1) 结合图象，研究它们的定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 x -3 -2 -1 1 2 3 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3 (2,1/2) (-2,-1/2) x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27 x 0 1 2 4 0 1 2 (4, 2) y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 奇函数 偶函数 非奇 非偶 (1,1) R R R {x|x≠0} ［0,+∞） R R {y|y≠0} ［0,+∞） ［0,+∞） 在R上增 在（-∞，0)上减， 观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表内: 在R 上增 在 ［0，+∞）上增 在（-∞，0]上减, 在［0，+∞）上增 在(0，+∞)上减 奇函数 奇函数 (1,1) (2,4) (-2,4) (-1,1) (-1,-1) (2,1/2) (-2,-1/2) (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴； (4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 幂函数的性质 例2. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 （3） 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5 < < > > 比较大小： 练习 比较下列各组数的大小； 利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时, 可在两个数中间插入一个中间数, 间接比较上述两个数的大小 注意 < > < (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 性； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 调性； (3)当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小. 利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 例4 证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数. 复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 取值。设x1, x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2; (2). 作差 。f(x1)－f(x2)，化简 ; (3). 定号。判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (4). 下结论。 证明:任取 所以幂函数 在［0 ... ...
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