全等三角形的性质与判定的综合运用 （第二课时） 例 已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，O为AD中点，EF, AD交于点O. 求证：O为EF的中点. 例 已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，O为AD中点，EF, AD交于点O. 求证：O为EF的中点. 分析： 要证O为EF的中点 即证OF=OE 需证△OFD≌△OEA AB∥CD OA=OD ∠FOD=∠EOA ∠1=∠2 ∠FDO=∠EAO ∠CDA=∠BAD ASA 易推出 证明： ∵AB∥CD, ∴∠CDA=∠BAD. 又∵∠1=∠2, ∴∠CDA－∠1=∠BAD － ∠2. 即∠FDO=∠EAO. ∵O为AD的中点, ∴OA=OD. 在△OFD和△OEA中, ∴△OFD≌△OEA（ASA）. ∴OF=OE. ∴ O是EF的中点. 例 如图，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是 BC上任一点.求证：PA=PD. 例 如图，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点.求证：PA=PD. 要证PA=PD 分析： 需证△ABP≌△DBP 或△ACP≌△DCP 已知∠1=∠2，∠3=∠4 隐含条件BC=BC ASA △ABC≌△DBC 找到已知和求证 间的联系 ? 证明： 在△ABC和△DBC中, 在△ABP和△DBP中, ∴△ABC≌△DBC(ASA) . ∴AB=DB. ∴△ABP≌△DBP（SAS）. ∴PA=PD. （全等三角形的对应边相等 ） 第一次全等为第二次全等提供了条件 例 如图，AB=AE, ∠B=∠E，BC=ED，AF⊥CD， 求证：点F是CD的中点. 要证F是CD的中点 分析： 即证CF=DF 需证△ACF≌△ADF 已知AB=AE, ∠B=∠E，BC=ED SAS △ABC≌△AED AC=AD AF⊥CD AF=AF HL 证明：连接AC、AD. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED（SAS）. ∴AC=AD. ∵AF⊥CD . ∴∠AFC=∠AFD=90°. 在Rt△AFC和Rt△AFD中, ∴Rt△AFC≌Rt△AFD（HL）. ∴CF=DF. ∴点F是CD的中点. 例 如图，点A ，B ，C ，D在一条直线上，且AB=CD， 若∠1=∠2，EC=FB．求证：∠E=∠F. 要证∠E=∠F. 分析： 需证△ACF≌△ADF 已知AB=CD AB+BC=CD+BC AC=BD 已知∠1=∠2 ∠ABC=∠BCD=180° ∠ABC－∠1=∠BCD－∠2 ∠DBF=∠ACE SAS 证明： ∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC. 即AC=BD. ∵∠ABC=∠BCD=180°， ∠1=∠2 ， ∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2. 即∠DBF=∠ACE. 在△AEC和△DFB中， ∴△AEC≌DFB （SAS）. ∴∠E=∠F. 练习 如图，点B, F, C, E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED， AC∥FD. 求证：AB=DE, AC=DF. 证明： ∵FB=CE, ∴FB+FC=CE+FC. 即BC=EF. ∵AB∥ED, ∴∠B=∠E. ∵AC∥FD, ∴∠ACB=∠DFE. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF （ASA）. ∴AB=DE , AC=DF. 课堂小结 证明题的分析思路： ①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④推导条件 课堂小结 全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法 之一，证明时： ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中； ②有公共边，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角 一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角. 证明的书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： 写出在哪两个三角形中, 摆出三个条件用大括号括起来, 写出全等结论. 课堂小结 课后作业 如图，AC,BD交与点O, AC=BD, AB=CD. 求证：（1）∠C=∠B （2）OA=OD. 2. 如图, AB=AC, AE=AD, ∠1= ∠2. 求证： BD=CE. 同学们，再见！ ... ...
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