题型(五) 圆的综合题 类型1 与全等三角形结合 题型精讲 1.(2020·湘潭)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△ACD； 证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，(AD＝AD，) ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). (2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由. 解：直线DE与⊙O相切.理由如下：连接OD. ∵△ABD≌△ACD，∴BD＝CD. 又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切. 【思路分析】(1)由AB为⊙O的直径，得AD⊥BC，再根据“HL”证明两三角形全等即可. (2)连接OD.由△ABD≌△ACD，得BD＝DC，结合AO＝BO，得OD为△ABC的中位线.由DE⊥AC，得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O的切线. 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单地说成“无交点，作垂线，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”. 对点训练 1.(2020·安徽)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E. (1)求证：△CBA≌△DAB； 证明：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△CBA与Rt△DAB中， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL). (2)若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB. (2)∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE. ∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°， ∴∠E＋∠BAE＝90°.由(1)知∠D＝90° ，∴∠DAF＋∠AFD＝90°. ∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E.∴∠DAF＝∠BAE，∴AC平分∠DAB. 2.如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，AB＝AC，连接对角线AD，BC，点F在线段BD的延长线上，且CF＝DF，⊙O的切线CE交BF于点E. (1)求证：CE∥AB； 证明：(1)连接AO，BO，连接CO并延长，交AB于点H. ∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BDC＝120°，∴∠BAC＝60°. ∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝BC. ∵AO＝BO，∴CH垂直平分AB，∴CH⊥AB. ∵CE是⊙O的切线，∴CH⊥CE，∴CE∥AB. (2)求证：AD＝BD＋CD. (2)∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°. ∵CF＝DF，∴△CDF为等边三角形， ∴CD＝CF，∠DCF＝60°. ∵∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠ACB， ∴∠DCF＋∠BCD＝∠ACB＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCF. 在△ACD和△BCF中, ∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴AD＝BF＝BD＋DF＝BD＋CD. 类型2 与四边形结合 题型精讲 2.(2020·荆州)如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点 (不与点O，B重合)，过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC， 于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD. (1)求证：FC是⊙O的切线； (1)证明：连接OC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC＋∠BDP＝90°. ∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC. ∵∠FDC＝∠BDP，∴∠FCD＝∠BDP， ∴∠OCB＋∠FCD＝90°，∴OC⊥FC. ∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线. (2)当E是 的中点时，若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由. (2)解：以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形.理由如下：连接OE，BE，CE.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°. ∵E是 的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°. ∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC，∴四边形BOCE是菱形. 【思路分析】(1)连接OC，证明OC⊥CF即可. (2)四边形BOCE是菱形，可以先证明四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等证四边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE是菱形. ... ...
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