第1章 第5节 小船过河问题初探-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破Word版有答案

第五节 小船过河问题初探 一、船速与船相对于水的速度 小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速、船相对于水的速度、船相对地面的速度，现对三个速度理解如下： (1)船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在水中，相对于水静止，对地也静止。 (2)船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂流，相对于水静止，对地速度等于水速。 right322580(3)船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地速度与水速、船相对于水的速度的关系如图3.83所示。其中，船相对于水的速度也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，的方向总是沿着船头所指的方向。 right314960例1 如图3.84所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大小始终不变。一开始船从岸边点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿航线到达对岸点耗时为，与河岸的夹角为。调整船速方向，从点出发沿直线返航回到点耗时，则为( )。 A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 分析与解 由点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度垂直于河岸，船相对地面的速度沿着方向，画出，，所围成的三角形如图3.85所示，可知，，则。当船由点返回时，其对地速度沿着方向，，，围成的三角形如图3.85所示，因为与夹角为，且，可知这一个等腰三角形，即，因此，可得，本题正确选项为B。 实际上，我们也可以将船在静水中的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。如图3.86所示，设船与河岸夹角为，为水流速度，则为船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。 二、小船过河的两个典型问题 1．过河时间最短问题 right73660渡河时间只取决于在垂直河岸方向上的船速，即，当时，渡河时间最短，，此时船头应正对着对岸前进，如图3.87所示。船沿河岸方向前进的距离为。 2．渡河距离最短问题 河宽是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽呢？下面就这个问题进行如下分析： right295910要使渡河距离最小为河宽，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图3.88所示，则，，因为，因此只有，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河宽，渡河时间。 right7285355由以上分析可知，当时，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度与河岸的夹角尽量大，可以用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度的末端为圆心，以小船在静水中的速度的大小为半径作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时让船速与过切点的半径平行，如图3.89所示，从而小船实际运动的速度(对地速度对)与河岸方向的夹角最大，即与垂直时，小船渡河距离最短。 由相似三角形知识可得，解得，船与河岸的夹角满足。 渡河时间仍可以采用上面的方法求得：。 例2 某河流河道笔直，河宽为，水流速度为，船在静水中的速度是，求： (1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离为多少？船实际通过的距离为多少？ (2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？ (3)如果水速增为，则如何渡河船通过的距离最短？最短距离为多少？ 分析与解 (1)当船头正对着对岸航行时，船渡河时间最短，此时与河岸垂直，如图3.90(a)所示，则最短的渡河时间，船沿着河岸移动的距离与水流速度有关，，船实际通过的距离与船对地速度有关，，则船实际通过的距离。 (2)欲使船渡河航行距离最短，则船对地速度最好垂直河岸，由于船速大于水速，因此可画出图3.90(b)所示的速度关系图，其中船速与河岸夹角为，则，，此时渡河时间。 (3)水速增为时，船速小于水速，船不能垂直河岸渡河，此时可以以水速的末端为 ... ...