高考数学专题———数列的性质 基础知识要求 等差数列 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N )． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 等比数列 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N ) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a． (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列． (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 数列性质小题常考的4种方法总结 常考题型：共4种大题型（包含项的最值问题、中项性质问题、函数性质问题、周期数列。 项的最值问题 求数列最大(小)项的方法 (1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． (2)利用求数列中的最大项an；利用求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 例1、【2020年高考北京】在等差数列中，，．则数列 A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 例2、已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由． 【解析】 法一：an＋1－an＝－＝·， 当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 则a1＜a2＜a3＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝＝. 法二：设数列{an}的第n项最大，则 即解得8≤n≤9，又n∈N ，则n＝8或n＝9.故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝. 例3、已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是_____． 【解析】由|a3|＝|a9|，d<0，得a3＝－a9， 即a3＋a9＝0，所以a6＝＝0. 所以a5>0，a6＝0，a7<0. 所以当n＝5或6时，Sn取最大值． 例4、设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 .? 【答案】64 【解析】由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得=2,解得q=,a1=8, 所以a1a2…an=8n·, 函数f(n)=-n2+n的对称轴为n=-=3.5, 又n∈N ,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为=26=64. 中项性质问题 等差数列 (1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝. 等比数列 (1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂． (4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 例5、在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】 法一：设{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4 ... ...
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