【押题卷03】2020-2021学年上海名校数学高考自主招生模拟卷（原卷 解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 【押题卷03】 2020-2021学年上海名校数学高考自主招生模拟卷 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．（2016?黄浦区一模）函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期T＝　π　． 【解答】解：y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x， ∴函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期Tπ． 故答案为：π． 2．（2021?奉贤区一模）复数的虚部是　1　． 【解答】解：∵复数3+i， ∴复数的虚部是1， 故答案为：1． 3．（2020?宁德模拟）若抛物线经过点，（2，2），则该抛物线的标准方程为　x2＝2y　． 【解答】解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：x2＝my， 将（2，2）点代入可得22＝2m，可得m＝2，及抛物线的方程为：x2＝2y， 显然（﹣1，）也在该抛物线上， 故答案为：x2＝2y． 4．（2019春?亭湖区校级月考）（文）已知函数f（x），若f（x）≥2，则x的取值范围为　[，+∞）　． 【解答】解：若x≥1，由f（x）≥2得x+1≥2得x≥1， 若x＜1，由f（x）≥2得﹣x2+4≥2得x2≤2，得x， ∵x＜1，∴此时x＜1， 综上x， 即x的取值范围是[，+∞）， 故答案为：[，+∞）， 5．（2021?浙江模拟）已知x＞2，y＞1，且（x+y﹣3）（x+2y﹣3）＝9，则3x+4y的最小值为　　． 【解答】解：令x+y﹣3＝m，x+2y﹣3＝n，则m＞0，n＞0， 所以mn＝9，x＝2m﹣n+3，y＝n﹣m， 所以3x+4y＝2m+n+9， 故由基本不等式，得3x+4y＝2m+n+96． 当且仅当x＝3，y时，等号成立． 故答案为：6． 6．（2021?宝山区一模）已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角θ的大小为　π　． 【解答】解：圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的母线长为l， 圆锥的侧面展开面的弧长为2×θ＝2?π?1，解得θ＝π． 故答案为：π． 7．（2019?朝阳区一模）在极坐标系中，直线ρcosθ＝1与圆ρ＝4cosθ交于A，B两点，则|AB|＝　2　． 【解答】解：直线ρcosθ＝1的普通方程为x＝1， 圆ρ＝4cosθ的普通方程为x2+y2﹣4x＝0，圆心C（2，0），半径r2， 圆心C（2，0）到直线x＝1的距离d＝1， ∴|AB|＝222． 故答案为：2． 8．（2018春?徐汇区校级月考）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A，B两菜可供选择，凡在星期一选A菜的下星期有20%改选B菜，选B菜的下星期一有30%改选A菜，用An，Bn表示第n个星期一选A，B菜的人数，则　600　． 【解答】解：设第一个周一选A种菜的人数为A1，则A1为[0，1000]的整数， 根据题意，An＝（1﹣0..2）An﹣1+0.3（1000﹣An﹣1），即2An＝An+600， ∴2（An﹣600）＝（An﹣1﹣600）， 所以，即{An﹣600}是以A1﹣600为首项，以为公比的等比数列， 所以An﹣600， An＝600， 故═600， 故填：600． 9．（2017秋?天心区校级期末）若函数f（x），若f（a）＜0，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（0，1）　． 【解答】解：∵f（x）， ∴当a＞0时，f（a）＜0?log2a＜0， 解得：0＜a＜1； 当a＜0时，f（a）＜0?0， ∴﹣x＞1， 解得：x＜﹣1． ∴实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）． 10．（2021?普陀区一模）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为　　． 【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有C210种取法， 满足三种颜色的球均取到的取法有CCCCCCCCC105种， ∴三种颜色的球均取到的概率为， 故答案为：． 11．（2019秋?徐汇区校级期末）已知复数a，b满足集合{﹣a，b}＝{a2，b+1}，则ab＝　1　 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{﹣a，b}＝{a2，b+1}， 则①或②， 由①得：b不存在，不满足条件． 由②得，若b＝a2，﹣a＝b+1； 则两式相结合得或 ... ...