北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测 高三数学参考答案 2021．1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）C （3）A （4）C （5）C （6）D （7）A （8）B （9）B （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）； （12） （13） （14）（答案不唯一） （15）①③ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：选条件①：． （Ⅰ）在中，因为，所以． 因为，且，，， 所以． 化简得， 解得或． 当时，，与题意矛盾． 所以，所以． 9分 （Ⅱ）因为，，所以． 所以． 13分 选条件②：． （Ⅰ）在中，因为， 所以由得． 因为，且，，， 所以． 解得． 9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以． 因为，，所以． 所以． 13分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分， 所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名， 这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是． 3分 （Ⅱ）由题可知的可能取值为0，1，2． ； ； ． 所以的分布列如下表： 所以的数学期望． 10分 （Ⅲ）． 13分 （18）（共14分） 解：（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面． 因为平面， 所以． 4分 （Ⅱ）连结．因为，为的中点， 所以． 由（Ⅰ）可知平面， 所以，． 设，则． 如图，建立空间直角坐标系． 所以． 所以，． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即所以 令，则，．于是． 所以． 由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 9分 （Ⅲ）当点是线段的中点时，平面．理由如下： 因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于． 假设线段上存在点使得平面． 设，则． 所以． 由，得． 所以当点是线段的中点时，平面，且． 14分 （19）（共15分） 解：（Ⅰ）由题意得解得 所以椭圆的方程为． 5分 （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线：与椭圆交于，两点， 所以，所以． 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由得． 且． 设，则 ，． 所以． 令，则， 所以． 当，即时，取最大值． 综上所述，的取值范围是． 15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）当时，，， 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 3分 （Ⅱ）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： 最大值 所以在内单调递增，在内单调递减． ②当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③当时，，所以在上单调递增． ④当时，与在上的变化情况如下： 极大值 极小值 所以在，内单调递增，在内单调递减． 9分 （III）由（II）可知： ①当时，在内单调递增，在内单调递减， 当时，取得最大值． （i）当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． （ii）当时，． 因为，，在内单调递减， 所以在内有唯一零点． 因为， 所以且． 因为，， 且在内单调递增，所以在内有唯一零点． 所以当时，恰有两个零点． ②当时，在，内单调递增，在内单调递减， 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ③当时，在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ④当时，在，内单调递增，在内单调递减． 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ），． 4分 （Ⅱ）当时，对任意，都有 ， 所以． 所以数列是递增数列． 7分 因为， 所以． 令，则， 所以． 所以存在正整数，使得． 9分 （III）由题意得，对任意，都有且． 由（Ⅱ）可得，当时，存在正整数，使得，所以． 所以若，则． 又因为，所以若，则． 所以若，则，即． 下面证明． ①当时，对任意，都有． 下证 ... ...
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