2021年1月高三模拟考试数学评分细则 三、填空题 13．； 14．4； 15．； 16．（本小题第一空2分，第二空3分）． 注：15题也可用集合表示： ;不写成集合或区间形式的不给分. 16题第二空也可写12.5或. 17．（10分） 在平面四边形中，，，，求的面积． 17．【解析】【解法一】 在中，由余弦定理可得： ， 所以 ； 3分 在中，由正弦定理可得：， 即 ， 所以 ， 所以 ； 因为 ，所以 ； 6分 所以 ， ， 8分 所以 ． 10分 注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分. 【解法二】 在中，由余弦定理可得： ， 所以 ； 3分 由已知 所以 在中，由正弦定理可得 所以 因为 ，所以 ； 6分 所以 ， ， 8分 所以 ． 10分 【解法三】在中，由余弦定理可得： ， 所以 ； 3分 在中，由正弦定理可得：， 即 ， 所以 ， 所以 ； 6分 又 即 所以或（舍）（不满足） 8分 所以 ． 10分 注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分； 8分点处，若未舍掉“” ，的面积算出两个值，则得8分；若只写出“”，不扣分. 18．（12分） 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题． 若，求数列的前项和． 18．【解析】 （1）因为 ，所以 ， 1分 所以 ， 3分 当时，适合上式， 4分 所以 ． 5分 说明：1.没有写出，直接得到正确结果的不扣分； 2.最后结果写成，不扣分； （2）若选①： 因为 6分 ， 8分 所以 ． 10分 12分 说明：最后结果写成都可以； 若选②： 方法一：因为 ， 6分 所以 ， 则 ， 8分 两式相减可得： 10分 ， 所以 ． 12分 说明：1.无错位相减过程，直接用公式得出结果的本问得3分；（其中 1分，最后结果占2分） 2. 最后结果写成也可以； 3. 考生若是错位相减时采用“”式减去“”按照上述各点对应得分即可. 方法二：因为 ， 6分 ， 8分 10分 ， 12分 说明：最后结果写成也可以； 若选③： ， 6分 当为偶数时， ； 8分 当为奇数时， 10分 综上：． 12分 说明：1.最后结果写成也可以； 2. 10分点处，写作也可以. 19．（12分） 如图，在三棱柱中，，为的中点，平面平面，设直线为平面与平面的交线． （1）证明：平面； （2）已知四边形为边长为的菱形，且，求二面角的余弦值． 19．【解析】 （1）【解法一】 证明：因为 是的中点， 所以 ， 1分 又因为 平面平面， 且平面平面，平面， 故 平面， 2分 而 平面，且平面， 平面平面， 所以， 4分 所以 平面； 5分 注：1、2分处，条件不全不扣分 2、4分处，条件不全不扣分 【解法二】 证明：因为 是的中点， 所以 ， 1分 又因为 平面平面， 且平面平面，平面， 故 平面， 2分 又平面平面， 所以平面平面， 4分 而平面平面， 故平面. 5分 注：解法二应用 如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于这个平面. （2）【解法一】 因为 四边形为菱形，且，连接，则， 又因为 平面平面，平面平面， 故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 6分 则 . 所以 ， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以 ； 8分 设平面的法向量， 则，即， 令，则， 所以 ； 10分 所以 ， 11分 由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为. 12分 注：8分和10分处，分别给的两个法向量的分，点坐标不给分. （2）【解法二】 因为 四边形为菱形，且，连接，则， 又因为 平面平面，平面平面， 故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 6分 则 . 所以 ， 设平面的法向量， 则，即， 令，则， 所以 ； 8分 设平面的法向量， 则，即， 令，则， 所以 ； 10分 所以 ， 11分 由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为. 12分 （2）【解法三】 因为 平面，平面， 所以 平 ... ...
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