§1 变化的快慢与变化率 授课提示：对应学生用书第30页 一、平均变化率 定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)．它的平均变化率为 实质 函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值 作用 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢 二、瞬时变化率 定义 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当Δx趋于0时，平均变化率＝＝趋于函数在x0点的瞬时变化率 实质 平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值 作用 刻画函数值在x0点处变化的快慢 [疑难提示] 对平均变化率的正确理解 (1)Δx的意义：Δx是相对于x1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x1＋Δx代替x2. (2)＝，式子中Δx，Δy的值都可正可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0，当f(x)为常数函数时，Δy＝0. (3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率． (4)为求点x0附近的平均变化率，上述表达形式常写为的形式． [想一想] 1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？ 提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢． [练一练] 2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 解析：根据定义，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 答案：D 3．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx_____0.(填“>”“<”或“≠”) 答案：≠ 授课提示：对应学生用书第31页 探究一 求平均变化率 [典例1] 已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． [解析] (1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴＝＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02. (3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时， ＝4×1＋2×＝5. 1．求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是： (1)先求Δx＝x2－x1； (2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)； (3)由定义求出＝. 2．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”； (2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式； (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 1．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率． 解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx－2(Δx)2， ∴＝－8－2Δx. 即平均变化率为－8－2Δx. 2．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率； (3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5 ＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx. 当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率＝＝21. (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率＝＝19.2. (3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，＝＝，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率． 探究二 求 ... ...
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