第五节 对数与对数函数 基础知识梳理 1．对数 一般地，如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做 ，N叫做 ，式子logaN叫做 ． 常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作 . 底数 真数 以a为底N的对数 lgN 基础知识梳理 自然对数：通常将使用以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作 . 对数恒等式：alogaN＝ (a＞0且a≠1，N＞0)叫做对数恒等式． 对数换底公式：logbN＝ (c>0，且c≠1)． lnN N 基础知识梳理 对数的性质： (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1＝0； (3)底的对数等于1，即logaa＝1. 基础知识梳理 2．对数的运算性质 如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝ ； (2)Loga ＝ ； (3)loganbm＝ logab； (4)logaMn＝ (n∈R)． logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 基础知识梳理 3．几个小结论 (1)loganbn＝logab； (2)loga logaM； (3)(logab)(logba)＝1. 基础知识梳理 logax2＝2logax是否正确？ 基础知识梳理 4．对数函数 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数．其中x是自变量． 互为反函数， 其图象关于直线 对称． 对数函数与指数函数 y＝x 基础知识梳理 解析式 y＝logax，(a＞0，且a≠1) 定义域 (0，＋∞) 值域 (－∞，＋∞) 图象 5.对数函数的图象和性质（见下表） 基础知识梳理 单调性 当a＞1时，在(0，＋∞)上为 函数,当0＜a＜1时，在(0， ＋∞)上为 函数 函数值分布 ①当a＞1时：若x＞1，则 ； 若x＝1，则 ；若0＜x＜1，则 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，则 ；若x＝1，则 ；若0＜x＜1，则 . 减 增 y>0 y＝0 y<0 y>0 y<0 y＝0 三基能力强化 三基能力强化 2．(2009年高考湖南卷改编)若log2a<0，( )b>1，则a，b的取值范围是_____． 解析：由log2a<0?0
1?b<0. 答案：01，则实数a的取值范围是_____． 答案：(1,2) 三基能力强化 5．函数y＝log (x2－3x＋2)的递增区间是_____． 答案：(－∞，1) 课堂互动讲练 简单的对数式的化简与求值是要求在熟练掌握对数的运算性质基础之上进行的，抓住化简的关键，如同底，换底等，才能顺利求值． 对数运算 考点一 课堂互动讲练 例1 计算： (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)； 课堂互动讲练 【思路点拨】 把式子中的对数化为最简形式，再根据对数的运算性质计算． 【解】 (1)原式＝(lg2)2＋(1＋ lg5)lg2＋lg52 ＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5) ＝2； 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【点评】 对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果． 课堂互动讲练 1．计算： (1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解：(1)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5 ＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋ (lg5)2]＋3lg2·lg5 ＝lg10[(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5]＋3lg2·lg5＝1. 跟踪训练 课堂互动讲练 (2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12. 跟踪训练 课堂互动讲练 要正确识别函数图象，一是熟悉各种基本函数的图象，二是把握图象的性质，根据图象的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性． 对数函数的图象 考点二 课堂互动讲练 例2 当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只可能是_____． 课堂互动讲练 【思路点拨】 利用对 ... ... 
