5.5 向量的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力. 链接·提示 许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题,跨学科应用也是它的一个特点. 二、点击双基 1.已知双曲线x2-=1的焦点F1、F2，点M在双曲线上且·=0，则点M到x轴的距离为( ) A. B. C. D. 解析：如图，不妨设M在右支上，则MF1⊥MF2. 设|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定义r1-r2=2a=2. ① Rt△MF1F2中，r12+r22=(2c)2=12. ② ①式平方代入②后得r1r2=4, ∴S△MF1F2=r1r2=2=|F1F2|·h=×2h.∴h=. 答案：C (文)若O是△ABC内一点,++=0,则O是△ABC的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+. 又++=0, ∴+=-. ∴-=. ∴O为AD的中点,且A、O、D共线. 又E为OD的中点,∴O是中线AE的三等分点,且OA=AE. ∴O是△ABC的重心. 答案：D 2.已知点A(,1)、B(0,0)、C(,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,若=λ,则λ等于 …( ) A.- B. C.-3 D.- 解析：由=λ,得λ=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故选择A. 答案：A 3.已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是( ) A.相交 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 解析：由题意得=, ∴cosαcosβ+sinαsinβ=. 圆心为(cosβ,-sinβ). 设圆心到直线的距离为d,则 d==1>, ∴直线和圆相离.故选D. 答案：D (文)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6 解析：由|+|=|-|,得·=0,∴OA⊥OB. 联立方程组整理得2x2-2ax+(a2-4)=0, 设A(x1,y1)、B(x2,y2), ∴x1+x2=a,x1·x2=. ∴y1·y2=(a-x1)·(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. ∴+-2=0.∴a2=4.∴a=±2. 又∵Δ=(-2a)2-8(a2-4)>0, ∴a2<8.∴a∈(-2,2),而±2∈(-2,2).故选C. 答案：C 4.在四边形ABCD中，·=0,=，则四边形ABCD是_____. 解析：由·=0知⊥.由=知BCAD.∴四边形ABCD是矩形. 答案：矩形 5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的实数x、y取值是_____. 解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得 答案：7、4 诱思·实例点拨 【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t，求： (1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不埽?胨得骼碛 解：(1)=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上，则2+3t=0,∴t=-; 若P在y轴上，只需1+3t=0,∴t=-; 若P在第二象限，则∴-
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