4.2.1 直线与圆的位置关系 情境引入 情境引入 情境：“海上生明月，天涯共此时。”一年一度的中秋节即将到来，上图为一幅海边赏月图，若把海平面看作一条直线，把月亮看成一个圆，则在月亮升起的过程中，反映了直线与圆的哪些位置关系呢？ 情境引入 目标呈现 掌握直线与圆的三种位置关系的判断方法； 会求直线被圆所截得的弦长； 会根据直线与圆的位置关系求一些简单问题。 揭示新知———代数法判断直线与圆的位置关系 思考：我们知道直线可以用 表示，圆可以用 表示，那能否用代数的方法来判断直线与圆的三种位置关系呢？ 揭示新知———代数法判断直线与圆的位置关系 代数法：直线与圆的方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则 直线与圆相交?Δ ； 直线与圆相切?Δ ； 直线与圆相离?Δ . =0 <0 >0 牛刀小试 1．判断下列命题是否正确． (1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切． ( ) (2)直线x＋2y－1＝0与圆x2＋y2－2x－y＋1＝0 的位置关系是相交．( ) 揭示新知———几何法判断直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 d与r d____r d_____r d_____r d d d 回顾旧知 1.圆的标准方程_____，圆心_____，半径_____. 2.圆心 到直线 的距离 公式为_____. 范例讲解 例1.已知直线 ：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0， （1）判断直线 与圆C的位置关系； （2）如果相交，求它们的交点的坐标． 解：（1）法一：圆x2＋y2－2y－4＝0可化为 ， 圆心C(0,1),半径r= ，圆心C到直线 的距离 ∴直线 与圆相交，有两个交点 范例讲解 例1.已知直线 ：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0， （1）判断直线 与圆C的位置关系； （2）如果相交，求它们的交点的坐标． 解：（1）法二：由直线 与圆的方程，得 消y，得 ∵ ，∴直线 与圆相交，有两交点 范例讲解 例1.已知直线 ：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0， （1）判断直线 与圆C的位置关系； （2）如果相交，求它们的交点的坐标． 解：（2）由 ，解得 把 代入，得 把 代入，得 ∴两个交点坐标分别为 同学们能说说几何法和代数法判断直线与圆位置关系的具体步骤吗？ 方法小结 直线与圆的位置关系 法一：几何法 求圆心，半径r; 求圆心到直线的距离d; 比较d与r 法二：代数法（可求交点坐标） 联立方程组，消y（或x）; 得到x（或y）的一元二次方程，求根的判别式△ 变式训练 例1.已知直线 ：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆 x2＋y2－2y－4＝0， （1）判断直线 与圆C的位置关系； （2）如果相交，求它们的交点的坐标； （3）如果相交，求出直线被圆所截得的弦长|AB|. 解：（3）由（2）知，两个交点坐标分别为 ∴ 思考：直线与圆相交，还有其他方法求弦长吗？ 弦长问题 d A B r 思考：直线与圆相交，还有其他方法求弦长吗？ 牛刀小试 1.直线 被圆 所截得的弦长是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 2.判断直线 和圆 的位置 关系，若相交，求出直线被圆所截得的弦长. 变式1.若直线 和圆 有如下关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离，试分别求满足条件的 的范围 课堂小结 1.本节课我们学习了哪些知识呢？ 能力提升 例2.已知过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线 的方程. 能力提升 解：将圆的方程写成标准形式,得 ， 圆心（0，-2），r=5 设直线 的方程为 ,即 两边平方并整理得 ，解得 ∴所求方程为 ∵直线 被圆所截得的弦长为 ， ∴圆心到直线 的距离为 高考链接 1.（2019.重庆一中模拟）在平面直角坐标系xoy中，点 ,直线 与直线 的交点坐标为圆C的圆心，设圆C的半径为1，过点A作斜率为 的直线n交圆C于A、B两点，求弦AB的长. 2.（2019.吉林省实验中学模拟）已知圆M过 两点，且圆心M在直线 上，求圆M的方程 . ... ...
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