2．3.2 抛物线的简单几何性质 内 容 标 准 学 科 素 养 1.掌握抛物线的简单几何性质．2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题．3.掌握直线与抛物线的位置关系. 利用直观想象提升逻辑推理 授课提示：对应学生用书第42页 [基础认识] 知识点一 抛物线的几何性质 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点、离心率等． 知识梳理 抛物线的几何性质 设图形中的P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦半径 |P1F|＝＋x1 |P1F|＝－x1 |P1F|＝＋y1 |P1F|＝－y1 焦点弦 |P1P2|＝p＋(x1＋x2) |P1P2|＝p－(x1＋x2) |P1P2|＝p＋(y1＋y2) P1P2＝p－(y1＋y2) 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 知识点二 直线与抛物线的位置关系 知识梳理 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有2个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有1个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． [自我检测] 1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 答案：C 2．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点一定在抛物线上的是( ) A．(a，－b) B．(－a，b) C．(－a，－b) D．(b，a) 答案：B 3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝y的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案：C 授课提示：对应学生用书第43页 探究一 抛物线几何性质的应用 [阅读教材P60例3]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，求它的标准方程． 题型：利用抛物线的几何性质，求其标准方程． 方法步骤：①根据条件设出抛物线的标准方程． ②将点M代入标准方程，求出p的值． ③写出抛物线的标准方程． [例1] (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为( ) A．(2,0) B．(1,0) C．(8,0) D．(4,0) [解析] 因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x. 而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－， 所以A，B， 则AB＝p，又三角形的高为， 则S△AOB＝··p＝， 即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)． [答案] B (2)已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． [解析] 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 方法技巧 1.注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称． 2．解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． 跟踪探究 1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解析：(1)当抛物线的焦点在x轴上时， 设其标准方程为y2＝mx(m≠0)． 将点M(1，－2)代入，得m＝4. ∴抛物线的标准方程为y2＝4x； (2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)． 将点M( ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
